Реши 10 класс

Краткий ответ: \(x=2\).

Решение:

\[ 3^{x+1}+3^{x-2}=2^{x+1}+5\cdot 2^x \]

Главный приём — вынести общий множитель со степенью:

\[ 3^{x+1}=3\cdot 3^x,\qquad 3^{x-2}=\frac{3^x}{9} \]

Тогда левая часть:

\[ 3^{x+1}+3^{x-2}=3^x\left(3+\frac{1}{9}\right)=3^x\cdot \frac{28}{9} \]

Правая часть:

\[ 2^{x+1}+5\cdot 2^x=2^x(2+5)=7\cdot 2^x \]

Получаем:

\[ \frac{28}{9}3^x=7\cdot 2^x \]

Сократим на 7:

\[ \frac{4}{9}3^x=2^x \]

Разделим на \(2^x>0\):

\[ \frac{4}{9}\left(\frac{3}{2}\right)^x=1 \]

\[ \left(\frac{3}{2}\right)^x=\frac{9}{4}=\left(\frac{3}{2}\right)^2 \]

Так как основание \(\frac32\neq 1\), показатели равны:

\[ x=2 \]

Проверка:

\[ 3^{3}+3^{0}=27+1=28 \]

\[ 2^{3}+5\cdot 2^2=8+20=28 \]

Обе части равны, значит \(x=2\) — верный корень.