задачи 1207

Это продолжение: вы просили задачу 1207, и на фото как раз её условие. Решаю все пункты.

Краткие ответы:

• а) \(9a^{-1}b^{-2}\)
• б) \(6mn^{2}\)
• в) \(0{,}2\)
• г) \(2y^{-4}\)
• д) \(\frac{1}{12}pq^{2}\)
• е) \(2a^{4}b^{2}\)

Как решать. При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются: \[ a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n},\qquad a^{0}=1,\qquad a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}. \] Числовые коэффициенты перемножаем отдельно, а показатели каждой буквы складываем.

а) \(1{,}5ab^{-3}\cdot 6a^{-2}b\) \[ 1{,}5\cdot 6=9,\quad a^{1+(-2)}=a^{-1},\quad b^{-3+1}=b^{-2}. \] Ответ: \(9a^{-1}b^{-2}\).

б) \(\frac{3}{4}m^{-2}n^{4}\cdot 8m^{3}n^{-2}\) \[ \frac{3}{4}\cdot 8=6,\quad m^{-2+3}=m^{1},\quad n^{4-2}=n^{2}. \] Ответ: \(6mn^{2}\).

в) \(0{,}6c^{2}d^{4}\cdot \frac{1}{3}c^{-2}d^{-4}\) \[ 0{,}6\cdot \frac{1}{3}=0{,}2,\quad c^{2-2}=c^{0}=1,\quad d^{4-4}=d^{0}=1. \] Ответ: \(0{,}2\).

г) \(3{,}2x^{-1}y^{-5}\cdot \frac{5}{8}xy\) \[ 3{,}2\cdot \frac{5}{8}=\frac{16}{5}\cdot\frac{5}{8}=2,\quad x^{-1+1}=x^{0}=1,\quad y^{-5+1}=y^{-4}. \] Ответ: \(2y^{-4}\).

д) \(\frac{1}{2}p^{-1}q^{-3}\cdot \frac{1}{6}p^{2}q^{5}\) \[ \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{6}=\frac{1}{12},\quad p^{-1+2}=p,\quad q^{-3+5}=q^{2}. \] Ответ: \(\frac{1}{12}pq^{2}\).

е) \(3\frac{1}{3}a^{5}b^{-18}\cdot 0{,}6a^{-1}b^{20}\) \[ 3\frac{1}{3}\cdot 0{,}6=\frac{10}{3}\cdot\frac{3}{5}=2,\quad a^{5-1}=a^{4},\quad b^{-18+20}=b^{2}. \] Ответ: \(2a^{4}b^{2}\).

Проверка на примере пункта а: при \(a=2,\ b=3\) исходное выражение даёт \(1{,}5\cdot2\cdot\frac{1}{27}\cdot6\cdot\frac{1}{4}\cdot3=\frac{1}{2}\), и \(9\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{9}=\frac{1}{2}\) — сходится.

Пришлите условие следующего номера — фото страницы или текст. Уточните заодно номер задания, чтобы я разобрал именно его.

Это продолжение: следующее задание из того же учебника — № 1210.

Краткие ответы (степень представлена в виде произведения):

• а) \(a^{-2}b^{-2}\)
• б) \(x^{6}y^{-2}\)
• в) \(4096\,a^{36}b^{-60}\) (или \(0{,}5^{-12}a^{36}b^{-60}\))
• г) \(4m^{10}n^{-6}\)
• д) \(\frac{1}{27}p^{-6}q^{6}\)
• е) \(-0{,}125\,x^{-9}y^{12}\)

Правило. Степень произведения — произведение степеней, а при возведении степени в степень показатели перемножаются: \[ (ab)^{n}=a^{n}b^{n},\qquad (a^{m})^{n}=a^{mn}. \] Отдельно возводим в степень числовой коэффициент (помним, что чётная степень убирает минус).

а) \((a^{-1}b^{-1})^{2}=a^{-1\cdot2}b^{-1\cdot2}=a^{-2}b^{-2}\)

б) \((x^{3}y^{-1})^{2}=x^{3\cdot2}y^{-1\cdot2}=x^{6}y^{-2}\)

в) \((0{,}5a^{-3}b^{5})^{-12}=0{,}5^{-12}a^{36}b^{-60}\). Так как \(0{,}5=\frac12\), то \(0{,}5^{-12}=2^{12}=4096\), поэтому \(4096a^{36}b^{-60}\).

г) \((-2m^{5}n^{-3})^{2}=(-2)^{2}m^{10}n^{-6}=4m^{10}n^{-6}\)

д) \(\left(\frac13p^{-2}q^{2}\right)^{3}=\left(\frac13\right)^{3}p^{-6}q^{6}=\frac{1}{27}p^{-6}q^{6}\)

е) \((-0{,}5x^{-3}y^{4})^{3}=(-0{,}5)^{3}x^{-9}y^{12}=-0{,}125x^{-9}y^{12}=-\frac18x^{-9}y^{12}\)

Проверка пункта г при \(m=1,\ n=1\): слева \((-2)^2=4\), справа \(4\) — сходится.

Задание ниже (с пунктом \((6a^{-5}b)^{-1}\)) на фото обрезано — если нужно, пришлите его целиком.

Это продолжение той же темы — степени с целыми показателями. На фото видны № 1204–1207; № 1207 мы уже разобрали, поэтому решаю полностью читаемые № 1206 и № 1205(а).

Правило: при делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаются: \[ a^{m}:a^{n}=a^{m-n},\qquad a^{0}=1. \]

№ 1206. Представить в виде степени с основанием \(x\):

• а) \(x^{10}:x^{12}=x^{10-12}=x^{-2}=\dfrac{1}{x^{2}}\)
• б) \(x^{0}:x^{-5}=x^{0-(-5)}=x^{5}\)
• в) \(x^{n-1}:x^{-8}=x^{(n-1)-(-8)}=x^{n+7}\), где \(n\) — целое
• г) \(x^{6}:x^{n+2}=x^{6-(n+2)}=x^{4-n}\), где \(n\) — целое

Проверка пункта б при \(x=2\): \(2^{0}:2^{-5}=1:\frac{1}{32}=32=2^{5}\) — сходится.

№ 1205(а). Представить \(a^{12}\) с основанием \(a^{4}\): \[ a^{12}=(a^{4})^{3}, \] потому что при возведении степени в степень показатели перемножаются: \(4\cdot3=12\).

Пришлите, пожалуйста, фото № 1204 и правую часть № 1205 целиком: выражения там обрезаны, и без них я не смогу решить эти пункты точно.