1. Уравнение движения точки по прямой имеет вид: X = 4 + 2t + 0,2t³. Найти

На фото четыре задачи. В задачах 3–4 беру \(g=10\ \text{м/с}^2\); для \(g=9{,}8\) значения немного другие — укажу в скобках.

Краткие ответы

1. \(x=9{,}6\) м; \(v=4{,}4\) м/с; \(a=2{,}4\) м/с².
2. \(\varepsilon\approx3{,}54\) рад/с².
3. \(s=36\) м (при \(g=9{,}8\) — \(36{,}7\) м).
4. \(s\approx31{,}3\) м (при \(g=9{,}8\) — \(31{,}9\) м).

Ход решения

1. Координата, скорость и ускорение связаны производными: \[ x(t)=4+2t+0{,}2t^3. \] \[ v(t)=x'=2+0{,}6t^2,\qquad a(t)=v'=1{,}2t. \] При \(t=2\) с: \[ x(2)=4+2\cdot2+0{,}2\cdot2^3=9{,}6\ \text{м}, \] \[ v(2)=2+0{,}6\cdot4=4{,}4\ \text{м/с}, \] \[ a(2)=1{,}2\cdot2=2{,}4\ \text{м/с}^2. \]

2. Один оборот — это \(2\pi\) радиан, поэтому \[ \varphi=9\cdot2\pi=18\pi\ \text{рад}. \] Если колесо начало вращаться из состояния покоя, то \(\omega_0=0\). При равноускоренном вращении \[ \omega^2=2\varepsilon\varphi. \] Отсюда \[ \varepsilon=\frac{20^2}{2\cdot18\pi} =\frac{400}{36\pi} =\frac{100}{9\pi} \approx3{,}54\ \text{рад/с}^2. \]

3. Считаем силу направленной горизонтально. Сила трения: \[ F_{\text{тр}}=\mu mg=0{,}2\cdot5\cdot10=10\ \text{Н}. \] Равнодействующая: \[ F_{\text{рез}}=20-10=10\ \text{Н}. \] Ускорение: \[ a=\frac{F_{\text{рез}}}{m}=\frac{10}{5}=2\ \text{м/с}^2. \] Тело начинает двигаться из состояния покоя, поэтому \[ s=\frac{at^2}{2}=\frac{2\cdot6^2}{2}=36\ \text{м}. \]

4. За время выстрела вдоль рельсов выполняется закон сохранения импульса. Вертикальная составляющая импульса снаряда передаётся рельсам и на откат вдоль пути не влияет. Для горизонтальной составляющей: \[ MV=mv\cos45^\circ. \] Масса платформы: \[ M=10\ \text{т}=10\,000\ \text{кг}. \] Тогда скорость отката: \[ V=\frac{100\cdot500\cdot\frac{\sqrt2}{2}}{10\,000} \approx3{,}54\ \text{м/с}. \] После выстрела платформа тормозит трением: \[ a_{\text{торм}}=\mu g=0{,}02\cdot10=0{,}2\ \text{м/с}^2. \] Тормозной путь: \[ s=\frac{V^2}{2\mu g} =\frac{(3{,}54)^2}{2\cdot0{,}2} \approx31{,}3\ \text{м}. \]

Что важно запомнить: в кинематике скорость — производная координаты, ускорение — производная скорости; при равноускоренном вращении удобна формула \(\omega^2-\omega_0^2=2\varepsilon\varphi\); в задачах с трением сначала находят равнодействующую, а в задачах на откат — сохраняют импульс, затем применяют работу силы трения.