Медиана прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, разбивает его на два треугольника с периметрами 8 и 9. Найдите гипотенузу.

Короткий ответ: гипотенуза равна \(5\), катеты — \(3\) и \(4\) (треугольник \(3-4-5\)).

Пусть \(c\) — гипотенуза, \(a,b\) — катеты. Медиана, проведённая к гипотенузе, равна её половине: \(c/2\), а основание медианы делит гипотенузу пополам.

Поэтому два получившихся треугольника имеют стороны: \[ a,\ \frac c2,\ \frac c2 \qquad\text{и}\qquad b,\ \frac c2,\ \frac c2. \]

Их периметры: \[ P_1=a+c,\qquad P_2=b+c. \]

По условию: \[ a+c=8,\qquad b+c=9. \]

Значит, \[ a=8-c,\qquad b=9-c. \]

По теореме Пифагора: \[ a^2+b^2=c^2, \] \[ (8-c)^2+(9-c)^2=c^2. \]

Раскрываем скобки: \[ 64-16c+c^2+81-18c+c^2=c^2, \] \[ c^2-34c+145=0. \]

Корни: \[ (c-5)(c-29)=0. \]

Корень \(c=29\) не подходит: тогда \(8-c<0\) и \(9-c<0\). Остаётся: \[ c=5. \]

Тогда: \[ a=8-5=3,\qquad b=9-5=4. \]

Проверка: \[ 3^2+4^2=9+16=25=5^2, \] а периметры половин треугольника: \[ 3+2{,}5+2{,}5=8,\qquad 4+2{,}5+2{,}5=9. \]

Ответ: гипотенуза \(5\), катеты \(3\) и \(4\).