Рассмотри изображение вместе с последним сообщением и историей диалога. Сначала определи, это продолжение текущей учебной цели или самостоятельное новое задание.

Фото получил — это продолжение того же разбора, так что решаю всё, что видно на странице.

516. Неполные квадратные уравнения

а) \(2x^2+3x=0\) \[x(2x+3)=0 \Rightarrow x_1=0,\ x_2=-1{,}5\]

б) \(3x^2-2=0\) \[x^2=\dfrac{2}{3} \Rightarrow x_{1,2}=\pm\sqrt{\dfrac{2}{3}}=\pm\dfrac{\sqrt6}{3}\]

в) \(5u^2-4u=0\) \[u(5u-4)=0 \Rightarrow u_1=0,\ u_2=0{,}8\]

г) \(7a-14a^2=0\) \[7a(1-2a)=0 \Rightarrow a_1=0,\ a_2=0{,}5\]

д) \(1-4y^2=0\) \[y^2=\dfrac14 \Rightarrow y_{1,2}=\pm0{,}5\]

е) \(2x^2-6=0\) \[x^2=3 \Rightarrow x_{1,2}=\pm\sqrt3\]

Принцип: если \(c=0\), выносим \(x\) за скобку (один корень всегда 0); если \(b=0\), выражаем \(x^2\) и берём оба знака корня.

517. Верно ли утверждение

а) \(x^2-19=0 \Rightarrow x^2=19,\ x=\pm\sqrt{19}\) — корни есть. Неверно. б) \(x^2+19=0 \Rightarrow x^2=-19\) — квадрат не бывает отрицательным, корней нет. Верно. в) \(x^2+19x=0 \Rightarrow x(x+19)=0 \Rightarrow x=0\) или \(x=-19\) — корни есть. Неверно.

518. Значения \(a\)

а) \(5a^2+5a-6=24 \Rightarrow 5a^2+5a-30=0 \Rightarrow a^2+a-6=0\) \[(a+3)(a-2)=0 \Rightarrow a=-3 \text{ или } a=2\] Проверка: \(a=2\): \(20+10-6=24\) ✓; \(a=-3\): \(45-15-6=24\) ✓.

б) \(a(a-4)=60 \Rightarrow a^2-4a-60=0\) \[D=16+240=256,\quad a=\dfrac{4\pm16}{2} \Rightarrow a=10 \text{ или } a=-6\] Проверка: \(10\cdot6=60\) ✓, \((-6)\cdot(-10)=60\) ✓.

519. Уравнения с приведением подобных

а) \(4x^2-3x+7=2x^2+x+7\). Семёрки и \(x\) сокращаются: \[2x^2-4x=0 \Rightarrow 2x(x-2)=0 \Rightarrow x_1=0,\ x_2=2\]

в) \(10-3x^2=x^2+10-x\): \[-4x^2+x=0 \Rightarrow x(1-4x)=0 \Rightarrow x_1=0,\ x_2=0{,}25\]

г) \(1-2y+3y^2=y^2-2y+1\): \[2y^2=0 \Rightarrow y=0\]

б) У этой строки левая часть обрезана — видно только «\(+\,8y+8=8y+3\)». Пришли её целиком (или напиши первый член, например \(3y^2\)), и я допишу решение. Ход такой: переносим всё влево, \(8y\) взаимно уничтожаются, остаётся уравнение вида \(ky^2+c=0\) — и дальше как в номере 516.

Это та же тема — квадратные уравнения, задания идут раньше номеров 516–519 из того же параграфа, так что продолжаю разбор страницы.

510. Является ли уравнение квадратным

Квадратное — вида \(ax^2+bx+c=0\) при \(a\ne 0\) (старшая степень переменной — вторая).

• а) \(3{,}7x^2-5x+1=0\) — да, \(a=3{,}7\ne0\);
• б) \(48x^2-x^3-9=0\) — нет, есть \(x^3\), это уравнение третьей степени;
• в) \(2{,}1x^2+2x-\dfrac{2}{3}=0\) — да;
• г) \(x+x^2-1=0\) — да, это \(x^2+x-1=0\).

511. Коэффициенты уравнения

Приведённые — те, у которых \(a=1\): б) и г).

512. Примеры неполных уравнений

Три вида (в уравнении \(ax^2+bx+c=0\) отсутствует один из членов):

• \(c=0\): \(3x^2-5x=0\);
• \(b=0\): \(2x^2-8=0\);
• \(b=c=0\): \(7x^2=0\).

513. Корни уравнений

а) \(4x^2-9=0\Rightarrow x^2=\dfrac{9}{4}\Rightarrow x=\pm\dfrac{3}{2}=\pm1{,}5\)

б) \(-x^2+3=0\Rightarrow x^2=3\Rightarrow x=\pm\sqrt3\)

в) \(-0{,}1x^2+10=0\Rightarrow x^2=100\Rightarrow x=\pm10\)

г) \(y^2-\dfrac{1}{9}=0\Rightarrow y=\pm\dfrac{1}{3}\)

д) \(6v^2+24=0\Rightarrow v^2=-4\) — корней нет (квадрат не бывает отрицательным)

е) \(3m^2-1=0\Rightarrow m^2=\dfrac{1}{3}\Rightarrow m=\pm\dfrac{1}{\sqrt3}=\pm\dfrac{\sqrt3}{3}\)

В пунктах д) и е) правый край фото обрезан — я считал, что там «\(=0\)», как в остальных строках. Если справа стоит другое число, скажи его, и я пересчитаю эти два пункта.

Общий приём: уравнение вида \(kx^2+c=0\) решаем так — переносим \(c\), делим на \(k\), получаем \(x^2=\text{число}\). Если число положительное, два корня \(\pm\sqrt{\text{число}}\); если отрицательное — корней нет; если ноль — один корень \(x=0\).

511. Коэффициенты квадратного уравнения — подробно

Уравнение записываем в стандартном виде \(ax^2+bx+c=0\), где:

• \(a\) — число (

Да, это та же страница и та же тема — продолжаю по номеру 511 (предыдущий ответ оборвался, так что даю его целиком).

511. Коэффициенты квадратного уравнения

Любое квадратное уравнение записывают в стандартном виде: \[ax^2+bx+c=0,\qquad a\ne0\] где \(a\) — коэффициент при \(x^2\), \(b\) — коэффициент при \(x\), \(c\) — свободный член. Знак числа входит в коэффициент: если перед членом стоит «минус», коэффициент отрицательный. Если члена нет — соответствующий коэффициент равен нулю.

Обрати внимание на в): при \(x^2\) стоит «минус», значит \(a=-1\), а не \(1\). В г) свободного члена нет — это то же самое, что \(+0\), поэтому \(c=0\). В д) нет члена с \(x\), поэтому \(b=0\).

Какие уравнения приведённые

Приведённое — то, у которого старший коэффициент \(a=1\). Это:

• б) \(x^2+3x-10=0\);
• г) \(x^2+5x=0\).

Остальные не приведённые: у а) \(a=5\), у в) \(a=-1\), у д) \(a=6\), у е) \(a=9\). Любое из них можно сделать приведённым, разделив обе части на \(a\) — например, а) даёт \(x^2-1{,}8x+0{,}8=0\).

Если нужно, разберу так же 510 или 512 — они на этом же фото.