Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0

Краткий ответ

\[ x_1 = 2,\qquad x_2 = 3 \]

Как это решается

Способ 1. Разложение на множители (быстрый).

Ищем два числа, которые в сумме дают 5 (с противоположным знаком коэффициента при \(x\)), а в произведении — 6 (свободный член). Это 2 и 3:

\[ x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3) \]

Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю:

\[ x - 2 = 0 \;\Rightarrow\; x = 2, \qquad x - 3 = 0 \;\Rightarrow\; x = 3 \]

Способ 2. Через дискриминант (универсальный).

Для \(ax^2+bx+c=0\): \(a=1,\ b=-5,\ c=6\).

\[ D = b^2 - 4ac = 25 - 24 = 1 \]

\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 \pm 1}{2} \]

\[ x_1 = \frac{5-1}{2} = 2,\qquad x_2 = \frac{5+1}{2} = 3 \]

Проверка

\[ 2^2 - 5\cdot 2 + 6 = 4 - 10 + 6 = 0 \]

\[ 3^2 - 5\cdot 3 + 6 = 9 - 15 + 6 = 0 \]

Оба корня подходят.

Принцип на будущее: у квадратного уравнения не больше двух корней. Если \(D>0\) — два корня, \(D=0\) — один, \(D<0\) — корней нет (в 7 классе так и пишут: «нет решений»).