реши 4 уравнения

На доске четыре неравенства (в запросе они названы уравнениями). Я разобрал каждое.

Краткие ответы:

1. \(\displaystyle x\in\{0\}\cup\left[1;\frac65\right]\)
2. \(\displaystyle x\in[-5;-4]\cup\{4\}\)
3. \(\displaystyle x\in(-\infty;-3]\cup\{2\}\)
4. \(\displaystyle x\in\left\{\frac13\right\}\cup\left[\frac32;+\infty\right)\)

Ключевая идея. Корень \(\sqrt{A}\) существует при \(A\ge0\) и всегда неотрицателен. Поэтому сначала находим ОДЗ, затем следим за знаком правой части и только потом возводим в квадрат. Если корень стоит множителем, отдельно проверяем точки, где он равен нулю.

1) \(\sqrt{\frac32x^2-x^3}\ge\sqrt{3x-\frac52x^2}\)

ОДЗ: \[ \frac32x^2-x^3=x^2\left(\frac32-x\right)\ge0 \Rightarrow x\le\frac32, \] \[ 3x-\frac52x^2=x\left(3-\frac52x\right)\ge0 \Rightarrow 0\le x\le\frac65. \] Пересечение: \(0\le x\le\frac65\). Обе части неотрицательны, возводим в квадрат: \[ \frac32x^2-x^3\ge3x-\frac52x^2 \] \[ -x^3+4x^2-3x\ge0 \] \[ x(x-1)(x-3)\le0. \] На отрезке \(0\le x\le\frac65\) это даёт \(x=0\) или \(1\le x\le\frac65\). На \((0;1)\) выражение положительно, поэтому эти \(x\) не подходят.

2) \((x^2+6x+5)\sqrt{x^2-16}\le0\)

ОДЗ: \(x\le-4\) или \(x\ge4\). Корень неотрицателен. Если \(x\ne\pm4\), корень положителен, поэтому нужно \[ x^2+6x+5=(x+1)(x+5)\le0 \Rightarrow -5\le x\le-1. \] С учётом ОДЗ получаем \([-5;-4]\). Точки \(x=\pm4\) дают нуль: \(x=-4\) уже входит, \(x=4\) добавляем отдельно.

3) \((9-x^2)\sqrt{2-x}\le0\)

ОДЗ: \(x\le2\). При \(x<2\) корень положителен, значит \[ 9-x^2\le0 \Rightarrow x^2\ge9 \Rightarrow x\le-3 \text{ или } x\ge3. \] С условием \(x<2\) остаётся \(x\le-3\). При \(x=2\) корень равен нулю, поэтому точка \(2\) тоже входит.

4) \(\sqrt{3x^2+5x-2}\le3x-1\)

ОДЗ подкоренного: \[ 3x^2+5x-2=(3x-1)(x+2)\ge0 \Rightarrow x\le-2 \text{ или } x\ge\frac13. \] Кроме того, правая часть должна быть неотрицательной: \[ 3x-1\ge0 \Rightarrow x\ge\frac13. \] Значит, \(x\ge\frac13\). Возводим в квадрат: \[ 3x^2+5x-2\le(3x-1)^2 \] \[ 6x^2-11x+3\ge0. \] Корни: \(\frac13\) и \(\frac32\), поэтому \[ x\le\frac13 \text{ или } x\ge\frac32. \] С учётом \(x\ge\frac13\): \(x=\frac13\) или \(x\ge\frac32\).

Проверка. В 1) \(x=0{,}5\) не подходит, \(x=1\) даёт равенство. Во 2) \(x=-4{,}5\) подходит, \(x=5\) нет. В 3) \(x=-4\) подходит, \(x=0\) нет. В 4) \(x=1\) не подходит (\(\sqrt6>2\)), \(x=2\) подходит.