Решить

На фото весь блок «Решить уравнение (157–162)», поэтому ниже решения всех пунктов. В логарифмических уравнениях сначала учитываю ОДЗ: аргументы положительны, основания положительны и не равны 1.

Краткие ответы

157.

1. \(x=\frac14\log_3 10\);
2. \(x=\frac15\log_2 3\);
3. \(x=\frac{2+\log_{1{,}3}3}{3}\);
4. \(x=\frac{\log_3 2-6}{4}\);
5. \(x=\log_4(2+3\sqrt2)\);
6. \(x=\log_5 3\).

158.

1. \(x=\sqrt3\);
2. \(x=27\);
3. \(x=4\) или \(x=\frac14\);
4. \(x=27\) или \(x=\frac1{27}\).

159.

1. \(x=-1\);
2. \(x=-4\);
3. \(x=5\);
4. \(x=6\) или \(x=14\).

160.

1. \(x=8\);
2. решений нет.

161.

1. \(x=\frac65\);
2. \(x=\frac{9\sqrt7}{28}\).

162.

1. \(x=2\);
2. \(x=2\) или \(x=5\);
3. \(x=4\);
4. решений нет.

Как получаются ответы

1. Показательные уравнения. Если \(a^{f(x)}=b\), то \(f(x)=\log_a b\).
   В 157.4: \[ \left(\frac13\right)^{5+4x}=3^{-(5+4x)}, \] поэтому \[ -(5+4x)=\log_3\frac32=1-\log_3 2. \] В 157.5–6 применяю замену: \[ t=4^x>0,\quad t^2-4t-14=0,\quad t=2+3\sqrt2; \] \[ t=5^x>0,\quad t^2+2t-15=0,\quad t=3. \]

2. Суммы и произведения логарифмов. Использую \[ \log_{a^k}x=\frac1k\log_a x,\qquad \log_{1/a}x=-\log_a x. \] В 158.1 при \(y=\log_3 x\): \[ y+\frac y2+\frac y3=\frac{11}{12}\Rightarrow y=\frac12, \] откуда \(x=\sqrt3\).
   В 158.2: \[ y+2y-y=6\Rightarrow y=3,\quad x=27. \] В 158.3–4 произведение логарифмов даёт квадратное уравнение относительно \(y\), поэтому появляются два взаимно обратных корня.

3. Уравнения 159. После объединения логарифмов перехожу к равенству аргументов, но проверяю ОДЗ.
   В 159.1: \[ \frac{2-x^2}{-x}=1\Rightarrow x^2-x-2=0. \] Корни \(2\) и \(-1\), но при \(x<0\) подходит только \(-1\).
   В 159.2 аналогично: \[ \frac{x^2-12}{-x}=1\Rightarrow x^2+x-12=0, \] подходит только \(-4\).
   В 159.3: \[ \sqrt{(x-3)(3x-7)}=4. \] Корни \(5\) и \(\frac13\), но \(x\ge3\), поэтому остаётся \(5\).
   В 159.4: \[ \frac{x+6}{\sqrt{2x-3}}=4, \] откуда \(x=6\) или \(x=14\).

4. 160.1 удобно привести к основанию 2: \[ \log_{\sqrt2}x=2\log_2x,\quad \log_4x=\frac12\log_2x,\quad \log_8x=\frac13\log_2x. \] При \(y=\log_2x\): \[ 2y+2y+\frac y3=13\Rightarrow y=3,\quad x=8. \] В 160.2 \(\log_2(x-3)\) требует \(x>3\), а \(\log_{1/\sqrt2}(-4x-8)\) требует \(x<-2\). Эти условия несовместимы, поэтому решений нет.

5. 161. Привожу логарифмы к основанию \(x\): \[ \log_{1/x}5=-\log_x5,\qquad \log_{x^2}12=\frac12\log_x12. \] В 161.1: \[ -\log_x5+\frac12\log_x12+\frac12\log_x3=1, \] \[ \log_x\frac65=1\Rightarrow x=\frac65. \] В 161.2: \[ \log_{1/\sqrt x}3=-2\log_x3, \] поэтому \[ \frac12\log_x7+2\log_x3-\log_x28=1, \] \[ \log_x\left(\frac{9\sqrt7}{28}\right)=1, \] откуда \[ x=\frac{9\sqrt7}{28}. \]

6. 162. После равенства логарифмов с одинаковым основанием аргументы равны: \[ \frac{2}{x-1}=x\Rightarrow x=2; \] \[ \frac{10}{7-x}=x\Rightarrow x=2,\ 5; \] \[ \frac{x+8}{x-1}=x\Rightarrow x=4. \] В 162.4: \[ \frac{x-4}{x-2}=x\Rightarrow x^2-3x+4=0, \] дискриминант \(D=-7\), значит, действительных корней нет.

Проверка: корни, не попавшие в ОДЗ, отброшены — например, \(x=2\) в 159.1, \(x=\frac13\) в 159.3, \(x=-1\) в 162.1 и \(x=-2\) в 162.3.