Решить под б и в

б) Гиперболы \(y=\dfrac{k}{x}\)

1. Ветвь в I четверти, проходит через \((1;1)\): \[1=\frac{k}{1}\Rightarrow k=1\Rightarrow y=\frac{1}{x}\]

2. Ветвь во II четверти, проходит через \((-1;1)\): \[1=\frac{k}{-1}\Rightarrow k=-1\Rightarrow y=-\frac{1}{x}\]

в) Ветви параболы \(y=\sqrt{\pm x}\)

1. Ветвь в I четверти, \(x\ge 0\), проходит через \((1;1)\): \(y=\sqrt{x}\).

2. Ветвь во II четверти, \(x\le 0\), проходит через \((-1;1)\): \(y=\sqrt{-x}\).

б) Гипербола \(y=\dfrac{k}{x}\)

1) Ветвь в I четверти

Дано: график функции \(y=\dfrac{k}{x}\); ветвь расположена в I координатной четверти и проходит через точку \(A(1;\,1)\).

Найти: \(k\) и формулу функции.

Решение:

1. Ветвь лежит в I четверти, значит \(k>0\).
2. Точка \(A(1;1)\) принадлежит графику, поэтому её координаты удовлетворяют уравнению: \[1=\frac{k}{1}\ \Rightarrow\ k=1.\]
3. Проверка по второй точке, например \((2;\,0{,}5)\): \(\dfrac{1}{2}=0{,}5\) — верно.

Ответ: \(y=\dfrac{1}{x}\), \(x>0\) (ветвь в I четверти).

2) Ветвь во II четверти

Дано: график \(y=\dfrac{k}{x}\); ветвь во II четверти, проходит через точку \(B(-1;\,1)\).

Решение:

1. Во II четверти \(x<0,\ y>0\), значит \(k<0\).
2. Подставляем \(B(-1;1)\): \[1=\frac{k}{-1}\ \Rightarrow\ k=-1.\]
3. Проверка: точка \((-2;\,0{,}5)\): \(-\dfrac{1}{-2}=0{,}5\) — верно.

Ответ: \(y=-\dfrac{1}{x}\), \(x<0\) (ветвь во II четверти).

в) Ветви параболы

1) Ветвь в I четверти

Дано: ветвь параболы с вершиной в точке \((0;0)\), ось симметрии — \(Ox\), ветвь идёт вправо, проходит через точки \((1;\,1)\) и \((4;\,2)\).

Найти: формулу функции.

Решение:

1. Такая ветвь — это половина параболы \(x=y^{2}\) при \(y\ge 0\), то есть график функции \(y=\sqrt{x}\).
2. Проверяем по точкам: \[\sqrt{1}=1,\qquad \sqrt{4}=2.\]
3. Область определения \(x\ge 0\) совпадает с рисунком: график начинается в \((0;0)\) и уходит вправо.

Ответ: \(y=\sqrt{x}\), \(x\ge 0\).

2) Ветвь во II четверти

Дано: ветвь параболы с вершиной \((0;0)\), ось симметрии — \(Ox\), ветвь идёт влево, проходит через точки \((-1;\,1)\) и \((-4;\,2)\).

Решение:

1. Эта ветвь — половина параболы \(x=-y^{2}\) при \(y\ge 0\), то есть график \(y=\sqrt{-x}\).
2. Проверка: \[\sqrt{-(-1)}=\sqrt{1}=1,\qquad \sqrt{-(-4)}=\sqrt{4}=2.\]
3. Область определения \(x\le 0\): график начинается в \((0;0)\) и уходит влево.

Ответ: \(y=\sqrt{-x}\), \(x\le 0\).

Общий приём: берём точку с графика, подставляем её координаты в общий вид формулы и находим коэффициент; затем проверяем по второй точке и сверяем область определения с рисунком.