конспект

До настоящего времени употребляются следующие внесистемные единицы давления: техническая атмосфера \(1\text{ ат} = 9{,}81\cdot10^4\text{ Па}\); физическая атмосфера \(1\text{ атм} = 1{,}013\cdot10^5\text{ Па}\); миллиметр ртутного столба \(1\text{ мм рт. ст.} = 133\text{ Па}\).

Измерения давления газа. Каждая молекула газа, ударяясь о стенку сосуда, в котором она находится, в течение малого промежутка времени действует на стенку с определенной силой. В результате беспорядочных ударов о стенку сила со стороны всех молекул на единицу площади стенки быстро меняется со временем относительно некоторой (средней) величины. Приборы, измеряющие давление, называют манометрами (рис. 4.7). Манометры фиксируют среднюю по времени силу давления, приходящуюся на единицу площади чувствительного элемента (мембраны) или другого приемника давления.

На рис. 4.7, а изображена схема устройства металлического манометра для измерения больших давлений. Основной его частью является изогнутая трубка A, открытый конец которой припаян к трубке B, а закрытый — соединен со стрелкой. Газ поступает через кран K и трубку B в трубку A и разгибает ее. Свободный конец трубки A, перемещаясь, приводит в движение передающий механизм и стрелку. Шкала градуирована в определенных единицах давления: либо в Паскалях, либо в технических атмосферах, либо в миллиметрах ртутного столба.

На рис. 4.7 показаны схемы жидкостных манометров: открытого (см. рис. 4.7, б) — для измерения небольших давлений выше атмосферного и закрытого (см. рис. 4.7, в) — для измерения давлений ниже атмосферного*. Эти манометры имеют высокую точность измерений.

Физический смысл понятия температуры будет раскрываться по мере изучения молекулярно-кинетической теории газов и основ термодинамики.

Между параметрами \(V\), \(p\), \(T\) существует однозначное соотношение. В общем виде это уравнение состояния. Для простых систем оно может быть записано следующим образом: \(f(p, V, T) = 0\). С помощью уравнения состояния всегда по двум параметрам можно определить третий.

[Рисунок: слева металлический манометр с круглой шкалой и обозначениями A, B, K (подпись «а»); в центре открытый жидкостный U-образный манометр (подпись «б»); справа закрытый жидкостный манометр (подпись «в»); крайний справа манометр со шкалой и обозначением M (подпись «г»). Под рисунками подпись «Рис. 4.7».]

*Газ, давление которого ниже атмосферного, называют разреженным.

4.8. Основное уравнение молекулярно-кинетической теории газов

Движение молекул. Давление возникает в результате ударов молекул о стенки сосудов. Рассмотрим поведение одной произвольно выбранной молекулы идеального газа, находящейся в сосуде, имеющем форму куба (рис. 4.8). Пусть \(\upsilon\) — ее скорость, направленная перпендикулярно стенке сосуда, а \(m_0\) — масса. При упругом ударе молекула сообщает стенке импульс \(m_0\upsilon\), а ее импульс станет равным \(-m_0\upsilon\). Следовательно, импульс молекулы изменится на \(m_0\upsilon - (-m_0\upsilon) = 2m_0\upsilon\). По второму закону Ньютона \[F_i t_i = 2m_0\upsilon. \tag{4.9}\]

Если в кубе, длина ребра которого равна \(l\), находится \(n\) молекул, то вследствие беспорядочного движения молекул и равновероятности всех направлений можно считать, что \(n/3\) молекул движется вдоль оси \(X\), \(n/3\) молекул — вдоль оси \(Y\), \(n/3\) молекул — вдоль оси \(Z\). Чтобы найти среднюю силу давления газа, следует подсчитать сумму импульсов всех молекул о стенку за определенное время. От одного до другого удара о ту же грань молекула проходит путь, в среднем равный \(2l\).

Интервал времени между двумя этими ударами равен \(t_i = 2l/\upsilon\). Определим теперь среднюю силу, с которой действует на одну из стенок сосуда одна молекула. В уравнение (4.9) подставим время \(t_i\) между двумя ударами \(F_i(2l/\upsilon) = 2m_0\upsilon\), откуда \[F_i = \frac{2m_0\upsilon^2}{2l}, \text{ или } F_i = \frac{m_0\upsilon^2}{l}. \tag{4.10}\]

Вывод основного уравнения молекулярно-кинетической теории газов. Молекулы газа движутся с различными скоростями (\(\upsilon_1, \ldots, \upsilon_i, \ldots, \upsilon_n\)); следовательно, они сообщают стенке сосуда и различные импульсы. Выберем какое-либо одно направление движения молекул (например, вдоль оси \(X\)). Между двумя противоположными гранями куба в этом направлении движется \(n/3\) всех молекул, и суммарная сила ударов об одну грань \[F = \frac{1}{3}\left(\frac{m_1\upsilon_1^2}{l} + \frac{m_2\upsilon_2^2}{l} + \ldots + \frac{m_n\upsilon_n^2}{l}\right). \tag{4.11}\]

В идеальном газе \(m_1 = m_2 = \ldots = m_n = m_0\), поэтому \[F = \frac{1}{3}\frac{m_0}{l}\left(\upsilon_1^2 + \upsilon_2^2 + \ldots + \upsilon_n^2\right). \tag{4.12}\]

Умножив и разделив правую часть равенства (4.12) на \(n\), получим \[F = \frac{1}{3}\frac{m_0 n}{l}\left(\frac{\upsilon_1^2 + \upsilon_2^2 + \ldots + \upsilon_n^2}{n}\right). \tag{4.13}\]

[Рисунок: куб с ребром \(l\); показаны оси \(X\), \(Y\), \(Z\); внутри куба изображены молекулы и подписи \(n/3\), \(n/3\), \(n/3\); справа внизу подпись «Рис. 4.8».]

Выражение, стоящее в скобках, есть квадрат средней квадратической скорости движения молекул \(\langle\upsilon_{\text{кв}}\rangle^2\). Таким образом, \[F = \frac{1}{3}\frac{m_0 n}{l}\langle\upsilon_{\text{кв}}\rangle^2, \tag{4.14}\]

где \(F = pS\). В рассматриваемом случае \(S = l^2\); следовательно, \[p = \frac{F}{S} = \frac{F}{l^2} = \frac{m_0 n \langle\upsilon_{\text{кв}}\rangle^2}{3l^3}, \tag{4.15}\]

где \(n/l^3 = n/V = n_0\) — число молекул в единице объема, или концентрация молекул. \[p = \frac{1}{3}n_0 m_0 \langle\upsilon_{\text{кв}}\rangle^2 \tag{4.16}\] — основное уравнение молекулярно-кинетической теории.

Основное уравнение молекулярно-кинетической теории определяет макроскопическую величину — давление газа через концентрацию \(n_0\) молекул, массу \(m_0\) отдельных молекул и среднюю квадратическую скорость \(\langle\upsilon_{\text{кв}}\rangle\) их движения.

Если через \(\langle E\rangle = \frac{1}{2}m_0\langle\upsilon_{\text{кв}}\rangle^2\) обозначить среднюю кинетическую энергию поступательного движения некоторой «средней» молекулы, то уравнение (4.16) можно записать в виде \[p = \frac{2}{3}n_0\langle E\rangle. \tag{4.17}\]

Давление газа равно \(2/3\) от средней кинетической энергии поступательного движения всех молекул, которые содержатся в единичном объеме газа.

4.9. Температура и ее измерение

Тепловое равновесие. Понятие температуры — одно из важнейших в молекулярной физике. Даже без специальных приборов человек различает тепло и холод, более нагретые и менее нагретые тела. Степень нагретости материальных тел характеризуют температурой. Такое определение понятия температуры имеет лишь качественный характер. Для установления количественного определения температуры необходимо ввести понятие теплового равновесия. Поясним это. Если положить нагретый металл на лед, то лед начнет плавиться, а металл — охлаждаться до тех пор, пока [обрезано]