1/x-1/y=1/6 x-y=-1 реши систему уравнений

\[ (x,y)=(2,3)\quad \text{или}\quad (-3,-2) \]

Ключевые шаги:

1. ОДЗ: \(x\neq 0,\ y\neq 0\).

2. Из \(x-y=-1\) получаем: \[ y-x=1,\qquad x=y-1. \]

3. Преобразуем первое уравнение: \[ \frac{1}{x}-\frac{1}{y}=\frac{y-x}{xy}. \] Так как \(y-x=1\), то \[ \frac{1}{xy}=\frac{1}{6}, \] откуда \[ xy=6. \]

4. Подставляем \(x=y-1\): \[ (y-1)y=6, \] \[ y^2-y-6=0. \] Корни: \[ y_1=3,\qquad y_2=-2. \]

5. Находим \(x=y-1\):

• при \(y=3\): \(x=2\);
• при \(y=-2\): \(x=-3\).

Проверка: \[ \frac12-\frac13=\frac16,\qquad 2-3=-1; \] \[ -\frac13-\left(-\frac12\right)=\frac16,\qquad -3-(-2)=-1. \]

Оба решения подходят.