84. Сократите дробь: а) (x² − 11x + 24)/(x² − 64); б) (2y² + 9y − 5)/(4y² − 1)

На фото полностью читаются №84 и №85; в №86 продолжение условия обрезано, поэтому проверить его утверждение нельзя. Решаю 84 и 85.

Краткий ответ

84. а) \(\dfrac{x-3}{x+8}\), \(x\ne -8;\,8\);

б) \(\dfrac{y+5}{2y+1}\), \(y\ne -\dfrac12;\,\dfrac12\).

85. а) при \(x=-9\): \(-\dfrac{3}{10}\); при \(x=-99\): \(-\dfrac{93}{100}\); при \(x=-999\): \(-\dfrac{993}{1000}\);

б) при \(x=-1\): \(3\); при \(x=5\): \(\dfrac{9}{7}\); при \(x=10\): \(\dfrac{7}{6}\).

Как это получается

84, а)

\[ \frac{x^2-11x+24}{x^2-64} =\frac{(x-3)(x-8)}{(x-8)(x+8)} =\frac{x-3}{x+8}. \]

84, б)

\[ \frac{2y^2+9y-5}{4y^2-1} =\frac{(2y-1)(y+5)}{(2y-1)(2y+1)} =\frac{y+5}{2y+1}. \]

85, а)

Сначала раскладываем на множители:

\[ \frac{36-x^2}{6-7x+x^2} = \frac{(6-x)(6+x)}{(x-1)(x-6)} = -\frac{x+6}{x-1}. \]

Теперь подставляем:

\[ x=-9:\quad -\frac{-9+6}{-9-1} =-\frac{3}{10}; \]

\[ x=-99:\quad -\frac{-99+6}{-99-1} =-\frac{93}{100}; \]

\[ x=-999:\quad -\frac{-999+6}{-999-1} =-\frac{993}{1000}. \]

85, б)

\[ \frac{4x^2+8x-32}{4x^2-16} = \frac{4(x+4)(x-2)}{4(x-2)(x+2)} = \frac{x+4}{x+2}. \]

Отсюда:

\[ x=-1:\quad \frac{3}{1}=3; \]

\[ x=5:\quad \frac{9}{7}; \]

\[ x=10:\quad \frac{14}{12}=\frac{7}{6}. \]

Принцип: раскладываем числитель и знаменатель на множители, сокращаем одинаковые множители, затем подставляем значения. Важно помнить, что после сокращения исходные ограничения на знаменатель сохраняются.

Проверка для 85, б) при \(x=5\): непосредственно \(\frac{108}{84}=\frac{9}{7}\).