Самостоятельная работа № 4 (к § 10–13). Вариант 1. 1. В треугольнике ABC AC=BC. Укажите равные углы этого треугольника.

Question

Реши задание на изображении

Расшифровка фото нейросетью:
Самостоятельная работа № 4
(к § 10–13)

Вариант 1

1. В треугольнике $ABC$ $AC=BC$. Укажите равные углы этого треугольника.

2. В треугольнике $ABC$ $\angle B=\angle C$, $AB=9$ см, $BC=7$ см. Найдите периметр этого треугольника.

3. По данным на рисунке докажите, что $\angle B=\angle D$.

[Рисунок: точки $A$ (слева), $B$ (сверху), $C$ (справа), $D$ (снизу); проведены отрезки $AB$, $BC$, $CD$, $DA$ и диагональ $AC$. На сторонах $AB$ и $AD$ — по одной отметке, на сторонах $BC$ и $CD$ — по две отметки.]

4. Треугольник $ABC$ — равносторонний, $CM$ — его высота. Периметр треугольника равен 36 см. Найдите $MB$.

5. Точки $A$ и $B$ лежат на окружности с центром в точке $O$. Угол $OAB$ равен $54^\circ$. Найдите угол $OBA$.

Answer

Краткие ответы

1. $\angle A=\angle B$ (то есть $\angle BAC=\angle ABC$).

2. $25$ см.

3. $\angle B=\angle D$ — доказано.

4. $MB=6$ см.

5. $\angle OBA=54^\circ$.

Ключевые шаги

Общий принцип: в треугольнике против равных сторон лежат равные углы, и наоборот.

1. Дано $AC=BC$. Это равнобедренный треугольник с основанием $AB$, поэтому углы при основании равны:
$$
\angle A=\angle B.
$$

2. $\angle B=\angle C$, значит, стороны, лежащие против них, равны:
$$
AC=AB=9\text{ см}.
$$
Тогда периметр:
$$
P=AB+BC+AC=9+7+9=25\text{ см}.
$$

3. По рисунку одинаковыми отметками показаны равные отрезки:
$$
AB=AD,\qquad BC=CD,
$$
а $AC$ — общая сторона. Значит,
$$
\triangle ABC=\triangle ADC
$$
по трём сторонам. В равных треугольниках соответственные углы равны, поэтому
$$
\angle ABC=\angle ADC,
$$
то есть $\angle B=\angle D$.

4. Треугольник равносторонний, его периметр $36$ см, значит, каждая сторона:
$$
36:3=12\text{ см}.
$$
В равностороннем треугольнике высота $CM$ является также медианой, поэтому $M$ — середина $AB$:
$$
MB=\frac{12}{2}=6\text{ см}.
$$

5. $OA$ и $OB$ — радиусы одной окружности, поэтому
$$
OA=OB.
$$
Значит, треугольник $AOB$ равнобедренный с основанием $AB$, и углы при основании равны:
$$
\angle OBA=\angle OAB=54^\circ.
$$

Проверка: $9+7+9=25$; $12:2=6$; в треугольнике $AOB$ угол при вершине $O$ равен $72^\circ$, и $54^\circ+54^\circ+72^\circ=180^\circ$.