Вариант 1. 1. Площади двух подобных треугольников равны 16 см² и 25 см². Сторона первого треугольника равна 4 см

Question

Реши задание на изображении

Расшифровка фото нейросетью:
Самостоятельная работа

Вариант 1

1. Площади двух подобных треугольников равны 16 см² и 25 см². Сторона первого треугольника равна 4 см. Найдите соответственную ей сторону второго треугольника.

2. В треугольнике $ABC$ проведена прямая $DE \parallel AC$. $AD = 4$, $DB = 8$, $AC = 21$. Найдите $DE$.

3. (Рисунок: лесенка из двух подобных прямоугольных треугольников). Гипотенуза большого — 20, катет — 12. Гипотенуза малого — 5. Найдите катет $x$, лежащий против того же угла.

Вариант 2

1. Стороны подобного треугольника уменьшили в 3 раза. Как изменилась его площадь?

2. В треугольнике $ABC$ точка $K$ лежит на стороне $AB$, $AK = 5$, $KB = 10$. Через [обрезано] проведена прямая, параллельная $BC$, пересекающая $AC$ в точке $L$. $BC = 18$[обрезано]. Найдите $KL$.

3. (Рисунок: высоты в подобных треугольниках). Коэффициент подобия треугольн[обрезано] $k = 2$. Высота меньшего треугольника $h = 5$. Найдите высоту $H$ большего.

Answer

На фото два варианта самостоятельной работы — я решил оба, выбери свой.

Краткие ответы

Вариант 1: 1) $5$ см; 2) $DE = 14$; 3) $x = 3$.

Вариант 2: 1) площадь уменьшилась в 9 раз; 2) $KL = 6$; 3) $H = 10$.

Главная идея (нужна во всех задачах)

У подобных треугольников все линейные размеры (стороны, высоты, медианы, периметр) относятся с коэффициентом подобия $k$, а площади — как $k^{2}$:

$$
\frac{a_1}{a_2}=k,\qquad \frac{S_1}{S_2}=k^{2}.
$$

Поэтому площадь «не слушается» $k$: если стороны уменьшить в 3 раза, площадь уменьшится в $3^2 = 9$ раз.

Вариант 1

№ 1. Отношение площадей $16:25$, значит отношение сторон:
$$
k=\frac{a_1}{a_2}=\sqrt{\frac{16}{25}}=\frac{4}{5}.
$$
Тогда $a_1 = 4$ см соответствует $a_2 = 4\cdot\frac{5}{4}=5$ см.

№ 2. $AB = AD + DB = 4+8 = 12$. Так как $DE \parallel AC$, то $\triangle BDE \sim \triangle BAC$ (угол $B$ общий, $\angle BDE = \angle BAC$ как соответственные). Коэффициент считаем от вершины $B$:
$$
k=\frac{BD}{BA}=\frac{8}{12}=\frac{2}{3},\qquad DE = AC\cdot k = 21\cdot\frac{2}{3}=14.
$$

№ 3. Малый и большой треугольники подобны, коэффициент «малый к большому»:
$$
k=\frac{5}{20}=\frac{1}{4},\qquad x = 12\cdot\frac{1}{4}=3.
$$

Проверка: большой треугольник $12$–$16$–$20$, малый $3$–$4$–$5$; катеты, лежащие против одинаковых углов, относятся как $12:3 = 16:4 = 4:1$ — сходится.

Вариант 2

№ 1. Стороны уменьшили в 3 раза, то есть $k=\frac{1}{3}$. Площадь меняется как $k^{2}=\frac{1}{9}$ — уменьшилась в 9 раз.

№ 2. $AB = AK + KB = 5+10 = 15$. Прямая $KL \parallel BC$, значит $\triangle AKL \sim \triangle ABC$ с коэффициентом
$$
k=\frac{AK}{AB}=\frac{5}{15}=\frac{1}{3},\qquad KL = BC\cdot k = 18\cdot\frac{1}{3}=6.
$$

№ 3. Высота — линейный элемент, поэтому она умножается на коэффициент подобия:
$$
H = k\cdot h = 2\cdot 5 = 10.
$$

Небольшое замечание: у варианта 2 в № 2 правый край кадра срезан, число читается как $BC = 18$. Если у тебя в листке другое значение, просто подставь его в формулу $KL=\frac{BC}{3}$.