Во время летних каникул Юра провёл июнь и июль у бабушки, потом на турбазе 2 смены по 12 дней.

Краткий ответ: 92 дня.

1. Июнь и июль у бабушки: \[ 30+31=61 \text{ день} \]

2. Две смены на турбазе: \[ 2\cdot 12=24 \text{ дня} \]

3. Оставшаяся до занятий неделя — это тоже часть каникул: \[ 61+24+7=92 \text{ дня} \]

Проверка. 24 дня турбазы и 7 оставшихся дней вместе дают 31 день — то есть весь август. Значит, каникулы заняли июнь, июль и август: \(30+31+31=92\) дня.