100. Выполните действие: а) 1/(a−4b) − 1/(a+4b) − 2a/(16b²−a²)

Задание 100 (а–г).

Кратко: \[ \text{а) }\frac{2}{a-4b};\qquad \text{б) }\frac{36}{(a^2-9)^2};\qquad \text{в) }\frac{2(x-2)}{x^2+2x+4};\qquad \text{г) }\frac{1}{a-1}. \]

При допустимых значениях переменных: \(a\ne \pm 4b\), \(a\ne \pm 3\), \(x\ne 2\), \(a\ne 1\).

Главный приём: разложить знаменатели на множители, привести дроби к общему знаменателю, затем сложить числители и сократить.

а)
\[ 16b^2-a^2=-(a-4b)(a+4b), \] поэтому \[ \frac{1}{a-4b}-\frac{1}{a+4b}-\frac{2a}{16b^2-a^2} = \frac{1}{a-4b}-\frac{1}{a+4b}+\frac{2a}{(a-4b)(a+4b)}. \] \[ =\frac{(a+4b)-(a-4b)+2a}{(a-4b)(a+4b)} =\frac{2a+8b}{(a-4b)(a+4b)} =\frac{2(a+4b)}{(a-4b)(a+4b)} =\frac{2}{a-4b}. \]

б)
Общий знаменатель: \((a-3)^2(a+3)^2\). \[ \frac{1}{(a-3)^2}-\frac{2}{a^2-9}+\frac{1}{(a+3)^2} = \frac{(a+3)^2-2(a-3)(a+3)+(a-3)^2}{(a-3)^2(a+3)^2}. \] В числителе: \[ (a+3)^2-2(a^2-9)+(a-3)^2=36. \] Значит, \[ \frac{36}{(a-3)^2(a+3)^2} =\frac{36}{(a^2-9)^2}. \]

в)
Так как \(x^3-8=(x-2)(x^2+2x+4)\), общий знаменатель — \(x^3-8\). \[ \frac{x-2}{x^2+2x+4}-\frac{6x}{x^3-8}+\frac{1}{x-2} = \frac{(x-2)^2-6x+(x^2+2x+4)}{x^3-8}. \] \[ x^2-4x+4-6x+x^2+2x+4=2x^2-8x+8=2(x-2)^2. \] \[ \frac{2(x-2)^2}{(x-2)(x^2+2x+4)} =\frac{2(x-2)}{x^2+2x+4}. \]

г)
\[ a^3-1=(a-1)(a^2+a+1). \] \[ \frac{2a^2+7a+3}{a^3-1}-\frac{1-2a}{a^2+a+1}-\frac{3}{a-1} = \frac{2a^2+7a+3-(1-2a)(a-1)-3(a^2+a+1)}{a^3-1}. \] Числитель: \[ 2a^2+7a+3-(1-2a)(a-1)-3(a^2+a+1)=a^2+a+1. \] Поэтому \[ \frac{a^2+a+1}{a^3-1} =\frac{a^2+a+1}{(a-1)(a^2+a+1)} =\frac{1}{a-1}. \]

Проверка подстановкой: при \(a=1,\ b=1\) в пункте а) получается \(-\frac23\); в пункте б) при \(a=1\) — \(\frac{9}{16}\); в пункте в) при \(x=3\) — \(\frac{2}{19}\); в пункте г) при \(a=2\) — \(1\). Совпадает с ответами.