Iog/2(x-4)<1 +нужно построить график и показать эти точки(прям обязательно!!!!)
Краткий ответ
\[ \log_2(x-4)<1 \quad\Longleftrightarrow\quad 4<x<6 \]
Ответ: \(x\in(4;\,6)\). На графике это вся часть кривой \(y=\log_2(x-4)\), лежащая ниже горизонтальной прямой \(y=1\), причём точка \((6;1)\) выколота.
Ключевые шаги
1. ОДЗ (область определения). Аргумент логарифма строго положителен: \[ x-4>0 \Rightarrow x>4. \]
2. Приводим правую часть к логарифму с тем же основанием: \[ 1=\log_2 2, \] поэтому \[ \log_2(x-4)<\log_2 2. \]
3. Убираем логарифмы. Функция \(y=\log_2 t\) возрастает (основание \(2>1\)), значит знак неравенства сохраняется: \[ x-4<2 \Rightarrow x<6. \]
4. Пересекаем с ОДЗ: \[ x>4 \ \text{и}\ x<6 \Rightarrow 4<x<6. \]
5. Проверка.
- \(x=4{,}5:\ \log_2 0{,}5=-1<1\) ✔
- \(x=5:\ \log_2 1=0<1\) ✔
- \(x=6:\ \log_2 2=1\) — не подходит, неравенство строгое ✘
- \(x=7:\ \log_2 3\approx1{,}58>1\) ✘
- \(x=3\) — вне ОДЗ ✘
Всё сходится: \((4;6)\).
График и точки (обязательная часть)
Кривая \(y=\log_2(x-4)\) получается сдвигом обычного \(\log_2 x\) вправо на 4.
Что обязательно отметить на рисунке:
- Вертикальную асимптоту \(x=4\) — пунктиром; слева от неё графика нет вообще.
- Точки графика (таблица):
| \(x\) | \(4{,}25\) | \(4{,}5\) | \(5\) | \(6\) | \(8\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(y=\log_2(x-4)\) | \(-2\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) |
- Горизонтальную прямую \(y=1\) — пунктиром.
- Точку пересечения \((6;1)\) — выколотая (кружок), потому что \(x=6\) не входит.
- Штриховку по оси \(Ox\) от \(4\) до \(6\) — это и есть ответ (у \(4\) штриховка «выколота», т.к. асимптота/ОДЗ).
Схематично:
y
2 ┤ ●(8; 2)
│ ╱
1 ┤ ○(6; 1)──────── y = 1
│ ╱
0 ┼────●(5; 0)───────────────── x
│ ╱
-1 ┤●(4,5; -1)
│
┆ ┆ x = 4 — асимптота
┆ └─●(4,25; -2)
Правило, которое стоит запомнить: при основании \(a>1\) знак неравенства при «снятии» логарифма не меняется, при \(0<a<1\) — меняется на противоположный; ОДЗ проверяем всегда отдельно.
Обсуждение
4 сообщенияIog(3x-4)<Ig(2x+1). Тут надо тоже построить график и обозначить точки
Краткий ответ
\[ \lg(3x-4)<\lg(2x+1) \quad\Longleftrightarrow\quad \frac{4}{3}<x<5 \]
Ответ: \(x\in\left(\dfrac{4}{3};\,5\right)\). На графике кривая \(y=\lg(3x-4)\) лежит ниже кривой \(y=\lg(2x+1)\) на всём промежутке от вертикальной асимптоты \(x=\frac43\) до точки пересечения \(\left(5;\,\lg 11\right)\), которая выколота.
Ключевые шаги
1. ОДЗ. Оба аргумента должны быть положительны: \[ \begin{cases}3x-4>0 \Rightarrow x>\frac43\\ 2x+1>0 \Rightarrow x>-\frac12\end{cases} \Rightarrow x>\frac43 . \]
2. Убираем логарифмы. Функция \(y=\lg t\) возрастает (основание \(10>1\)), поэтому знак неравенства сохраняется: \[ 3x-4<2x+1 \Rightarrow x<5 . \]
3. Пересекаем с ОДЗ: \[ \frac43<x<5 . \]
4. Проверка.
- \(x=\frac43\): \(\lg 0\) не существует (да и вне ОДЗ) ✘
- \(x=1{,}5\): \(\lg 0{,}5\approx-0{,}30<\lg 4\approx0{,}60\) ✔
- \(x=2\): \(\lg 2\approx0{,}30<\lg 5\approx0{,}70\) ✔
- \(x=4\): \(\lg 8\approx0{,}90<\lg 9\approx0{,}95\) ✔
- \(x=5\): \(\lg 11=\lg 11\) — равенство, не подходит ✘
- \(x=6\): \(\lg 14\approx1{,}15>\lg 13\approx1{,}11\) ✘
Всё сходится: \(\left(\frac43;5\right)\).
График и точки (обязательная часть)
Что обязательно отметить на рисунке:
- Вертикальную асимптоту \(x=\frac43\) (пунктир) — левее графика \(y=\lg(3x-4)\) нет.
- Точки первой кривой \(y=\lg(3x-4)\):
| \(x\) | \(\frac53\) | \(2\) | \(\frac83\) | \(3\) | \(4\) | \(5\) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(y\) | \(0\) | \(0{,}30\) | \(0{,}60\) | \(0{,}70\) | \(0{,}90\) | \(1{,}04\) |
- Точки второй кривой \(y=\lg(2x+1)\):
| \(x\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(2{,}5\) | \(4{,}5\) | \(5\) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(y\) | \(0\) | \(0{,}48\) | \(0{,}70\) | \(0{,}78\) | \(1\) | \(1{,}04\) |
- Точку пересечения \(\left(5;\,\lg 11\approx1{,}04\right)\) — выколотая (кружок).
- Штриховку по \(Ox\) от \(\frac43\) до \(5\) — это ответ; оба конца выколоты.
Схематично:
y
1,04 ┤ ○(5; 1,04) — пересечение
│ ╱‾‾‾╱
1,0 ┤ ●(4,5;1) ╱
│ ╱ ╱‾‾╱
0,70 ┤ ●(3;0,70) ●(2;0,70)
│ ╱ ╱
0,60 ┤ ●(8/3;0,60)
0,30 ┤ ●(2;0,30)
0 ┼─●(5/3;0)──────────────────── x
┆ ╎ ╲ нижняя кривая уходит в −∞
┆ ╎ x = 4/3 — асимптота (пунктир)
Правило, которое стоит запомнить: \(\lg a<\lg b \iff 0<a<b\) при основании \(10>1\); ОДЗ выписываем до «снятия» логарифмов и в конце пересекаем с решением — именно ОДЗ даёт левую границу ответа \(\frac43\).
Iog/5 3x-2/x+1>o. Тоже график нужен
Iog/5 3x-2/x+1>o. Тоже график нужен
