x+1=√(16-3x)

Краткий ответ: \[ x=\frac{-5+\sqrt{85}}{2}. \]

Как решать

1. Учитываем смысл корня.
   Арифметический корень неотрицателен, поэтому левая часть тоже должна быть неотрицательной: \[ x+1\ge 0 \quad\Rightarrow\quad x\ge -1. \] Кроме того, подкоренное выражение неотрицательно: \[ 16-3x\ge 0 \quad\Rightarrow\quad x\le \frac{16}{3}. \]

2. Возводим обе части в квадрат: \[ (x+1)^2=16-3x. \]

3. Раскрываем скобки и приводим к квадратному уравнению: \[ x^2+2x+1=16-3x, \] \[ x^2+5x-15=0. \]

4. Находим корни: \[ D=5^2-4\cdot 1\cdot(-15)=25+60=85, \] \[ x_{1,2}=\frac{-5\pm\sqrt{85}}{2}. \]

5. Отбираем корень по условию \(x\ge -1\): \[ x_1=\frac{-5+\sqrt{85}}{2}\approx 2{,}11 \] подходит, а \[ x_2=\frac{-5-\sqrt{85}}{2}\approx -7{,}11<-1 \] не подходит: при нём \(x+1<0\), а корень отрицательным быть не может.

Проверка

Для \(x_1\): \[ x_1+1=\frac{\sqrt{85}-3}{2}. \] При этом \[ 16-3x_1=\frac{47-3\sqrt{85}}{2} =\left(\frac{\sqrt{85}-3}{2}\right)^2, \] значит равенство действительно выполняется.

Ответ: \[ x=\frac{-5+\sqrt{85}}{2}. \]

Главное правило: уравнение вида \(A=\sqrt{B}\) решают возведением в квадрат, но после этого обязательно проверяют условие \(A\ge 0\), иначе может появиться посторонний корень.