Вариант 1. Задача 1. Спутник движется по круговой орбите на высоте h=100 км над поверхностью Земли. Вычислите первую космическую скорость для этой орбиты.
Реши задание на изображении
Сверь числа и знаки с фото.
Вариант 1
Задача 1. Спутник движется по круговой орбите на высоте \(h=100\) км над поверхностью Земли. Вычислите первую космическую скорость для этой орбиты. Масса Земли \(M=6\cdot10^{24}\) кг, радиус Земли \(R=6400\) км, \(G=6{,}67\cdot10^{-11}\) Н·м²/кг². (Сравните полученный результат со скоростью у самой поверхности Земли.)
Задача 2. Спутник обращается вокруг Луны на высоте \(h=50\) км над её поверхностью. Найдите скорость спутника. Масса Луны \(M_{\text{л}}=7{,}3\cdot10^{22}\) кг, радиус Луны \(R_{\text{л}}=1740\) км.
Задача 3. Спутник движется вокруг Земли по круговой орбите со скоростью \(v=7{,}0\) км/с. На какой высоте над поверхностью Земли находится спутник? Масса Земли \(M=6\cdot10^{24}\) кг, радиус Земли \(R=6400\) км, \(G=6{,}67\cdot10^{-11}\) Н·м²/кг².
Краткий ответ
Для орбиты на высоте \(100\) км: \[ v \approx 7{,}85\ \text{км/с}. \] У поверхности Земли: \[ v_0 \approx 7{,}91\ \text{км/с}, \] то есть на высоте \(100\) км скорость меньше примерно на \(0{,}06\) км/с, или на \(0{,}8\%\).
Для спутника Луны: \[ v \approx 1{,}65\ \text{км/с}. \]
Высота спутника над Землёй: \[ h \approx 1{,}77\cdot10^3\ \text{км} \approx 1800\ \text{км}. \]
Почему используется такая формула
На круговой орбите сила притяжения играет роль центростремительной силы: \[ G\frac{Mm}{r^2}=\frac{mv^2}{r}. \] Отсюда: \[ v=\sqrt{\frac{GM}{r}}, \qquad r=R+h. \]
То есть чем больше расстояние от центра планеты \(r\), тем меньше скорость на круговой орбите.
Задача 1
Дано: \[ h=100\ \text{км}=0{,}1\cdot10^6\ \text{м},\qquad R=6{,}4\cdot10^6\ \text{м}. \] Тогда: \[ r=R+h=6{,}5\cdot10^6\ \text{м}. \]
\[ v=\sqrt{\frac{GM}{R+h}} =\sqrt{\frac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot6\cdot10^{24}}{6{,}5\cdot10^6}} \approx7{,}85\cdot10^3\ \text{м/с}. \]
У поверхности Земли, то есть при \(h=0\): \[ v_0=\sqrt{\frac{GM}{R}} \approx7{,}91\cdot10^3\ \text{м/с}. \]
Сравнение: \[ \frac{v}{v_0}=\sqrt{\frac{R}{R+h}} =\sqrt{\frac{6400}{6500}} \approx0{,}992. \] Значит, скорость на высоте \(100\) км меньше примерно на \(0{,}8\%\).
Задача 2
Для Луны: \[ R_{\text{л}}=1740\ \text{км}=1{,}74\cdot10^6\ \text{м}, \] \[ h=50\ \text{км}=0{,}05\cdot10^6\ \text{м}, \] \[ r=R_{\text{л}}+h=1{,}79\cdot10^6\ \text{м}. \]
\[ v=\sqrt{\frac{GM_{\text{л}}}{R_{\text{л}}+h}} =\sqrt{\frac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot7{,}3\cdot10^{22}}{1{,}79\cdot10^6}} \approx1{,}65\cdot10^3\ \text{м/с}. \]
Ответ: \[ v\approx1{,}65\ \text{км/с}. \]
Задача 3
Здесь скорость известна: \[ v=7{,}0\ \text{км/с}=7{,}0\cdot10^3\ \text{м/с}. \]
Из формулы \[ v^2=\frac{GM}{R+h} \] получаем: \[ R+h=\frac{GM}{v^2}. \]
\[ R+h= \frac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot6\cdot10^{24}} {(7{,}0\cdot10^3)^2} \approx8{,}17\cdot10^6\ \text{м}. \]
Значит: \[ h=8{,}17\cdot10^6-6{,}4\cdot10^6 \approx1{,}77\cdot10^6\ \text{м}. \]
\[ h\approx1{,}77\cdot10^3\ \text{км}\approx1800\ \text{км}. \]
Проверка
- В задаче 1 скорость немного меньше первой космической скорости у поверхности, потому что орбита всего на \(100\) км выше.
- В задаче 2 масса Луны меньше земной, поэтому скорость спутника Луны около \(1{,}65\) км/с.
- В задаче 3 скорость \(7{,}0\) км/с меньше \(7{,}9\) км/с, значит, орбита должна быть выше поверхности Земли. Полученная высота положительна — это согласуется с условием.
Обсуждение
2 сообщенияДано си решение напиши
Ниже — в формате «Дано — СИ — Решение».
Задача 1
Дано:
\[ h=100\ \text{км} \]
\[ R_{\text{З}}=6{,}4\cdot10^6\ \text{м} \]
\[ M_{\text{З}}=6\cdot10^{24}\ \text{кг} \]
\[ G=6{,}67\cdot10^{-11}\ \frac{\text{Н}\cdot\text{м}^2}{\text{кг}^2} \]
СИ:
\[ h=100\ \text{км}=1{,}0\cdot10^5\ \text{м} \]
Найти: \(v\) на высоте \(100\) км; сравнить со скоростью у поверхности Земли \(v_0\).
Решение:
На круговой орбите:
\[ G\frac{M_{\text{З}}m}{r^2}=\frac{mv^2}{r} \]
Отсюда:
\[ v=\sqrt{\frac{GM_{\text{З}}}{r}}, \qquad r=R_{\text{З}}+h \]
Подставляем:
\[ r=6{,}4\cdot10^6+1{,}0\cdot10^5=6{,}5\cdot10^6\ \text{м} \]
\[ v=\sqrt{\frac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot6\cdot10^{24}}{6{,}5\cdot10^6}} \approx7{,}85\cdot10^3\ \text{м/с} \]
\[ v\approx7{,}85\ \text{км/с} \]
У поверхности Земли:
\[ v_0=\sqrt{\frac{GM_{\text{З}}}{R_{\text{З}}}} \approx7{,}91\ \text{км/с} \]
Ответ: на высоте \(100\) км скорость спутника примерно \(7{,}85\) км/с. Это меньше скорости у поверхности Земли примерно на \(0{,}06\) км/с, то есть примерно на \(0{,}8\%\).
Задача 2
Дано:
\[ h=50\ \text{км} \]
\[ R_{\text{Л}}=1{,}74\cdot10^6\ \text{м} \]
\[ M_{\text{Л}}=7{,}3\cdot10^{22}\ \text{кг} \]
\[ G=6{,}67\cdot10^{-11}\ \frac{\text{Н}\cdot\text{м}^2}{\text{кг}^2} \]
СИ:
\[ h=50\ \text{км}=5{,}0\cdot10^4\ \text{м} \]
Найти: \(v\).
Решение:
\[ r=R_{\text{Л}}+h \]
\[ r=1{,}74\cdot10^6+5{,}0\cdot10^4 =1{,}79\cdot10^6\ \text{м} \]
\[ v=\sqrt{\frac{GM_{\text{Л}}}{R_{\text{Л}}+h}} \]
\[ v=\sqrt{\frac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot7{,}3\cdot10^{22}}{1{,}79\cdot10^6}} \approx1{,}65\cdot10^3\ \text{м/с} \]
Ответ:
\[ v\approx1{,}65\ \text{км/с} \]
Задача 3
Дано:
\[ v=7{,}0\ \text{км/с} \]
\[ R_{\text{З}}=6{,}4\cdot10^6\ \text{м} \]
\[ M_{\text{З}}=6\cdot10^{24}\ \text{кг} \]
\[ G=6{,}67\cdot10^{-11}\ \frac{\text{Н}\cdot\text{м}^2}{\text{кг}^2} \]
СИ:
\[ v=7{,}0\ \text{км/с}=7{,}0\cdot10^3\ \text{м/с} \]
Найти: \(h\).
Решение:
\[ v^2=\frac{GM_{\text{З}}}{R_{\text{З}}+h} \]
Отсюда:
\[ R_{\text{З}}+h=\frac{GM_{\text{З}}}{v^2} \]
\[ R_{\text{З}}+h= \frac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot6\cdot10^{24}} {(7{,}0\cdot10^3)^2} \]
\[ R_{\text{З}}+h\approx8{,}17\cdot10^6\ \text{м} \]
Тогда:
\[ h=8{,}17\cdot10^6-6{,}4\cdot10^6 \approx1{,}77\cdot10^6\ \text{м} \]
Ответ:
\[ h\approx1{,}77\cdot10^6\ \text{м} \approx1{,}77\cdot10^3\ \text{км} \approx1800\ \text{км} \]
Кратко:
\[ v_1\approx7{,}85\ \text{км/с} \]
\[ v_2\approx1{,}65\ \text{км/с} \]
\[ h_3\approx1{,}8\cdot10^3\ \text{км} \]
Формула для всех трёх задач одна:
\[ v=\sqrt{\frac{GM}{R+h}} \]
Если известна скорость, её удобно применять в виде:
\[ R+h=\frac{GM}{v^2} \]
