x + 1 = √(15 − 3x)

Ответ: \(x=2\).

Ключевые шаги

1. Уравнение имеет вид \[ x+1=\sqrt{15-3x}. \] Корень существует при \(15-3x\ge 0\), то есть \(x\le 5\). Кроме того, слева стоит квадратный корень, значит левая часть неотрицательна: \(x+1\ge 0\), то есть \(x\ge -1\).

2. Возводим обе части в квадрат: \[ (x+1)^2=15-3x \;\Longrightarrow\; x^2+2x+1=15-3x. \]

3. Переносим всё влево и приводим подобные: \[ x^2+5x-14=0. \]

4. Решаем квадратное уравнение. Дискриминант: \[ D=5^2-4\cdot 1\cdot(-14)=25+56=81,\qquad \sqrt{D}=9. \] \[ x_{1,2}=\frac{-5\pm 9}{2},\qquad x_1=2,\quad x_2=-7. \]

5. Проверка — обязательный шаг, потому что возведение в квадрат может добавить «лишний» корень:

• \(x=2\): слева \(2+1=3\), справа \(\sqrt{15-6}=\sqrt{9}=3\). Верно.
• \(x=-7\): слева \(-7+1=-6\), справа \(\sqrt{15+21}=\sqrt{36}=6\). Не верно (\(-6\ne 6\)), корень посторонний.

Принцип: возведение в квадрат «стирает» знак, поэтому уравнение после него может иметь корни, которых не было в исходном. Поэтому либо сразу учитываем условие \(x+1\ge 0\), либо в конце подставляем найденные значения в исходное уравнение — как здесь.

Ответ: \(x=2\).