Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0

Коротко: дробные корни не требуют нового способа. Алгоритм тот же — привести уравнение к виду \(ax^2+bx+c=0\), найти дискриминант и подставить в формулу корней. Дроби появляются сами, когда \(a\) не равно 1 или дискриминант не является полным квадратом.

\[ D=b^2-4ac,\qquad x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}. \]

Пример 1: коэффициент \(a\) больше 1

\[ 2x^2-7x+3=0. \]

Здесь \(a=2,\ b=-7,\ c=3\).

\[ D=(-7)^2-4\cdot2\cdot3=49-24=25. \]

\[ x_{1,2}=\frac{7\pm\sqrt{25}}{2\cdot2}=\frac{7\pm5}{4}. \]

\[ x_1=\frac{7+5}{4}=\frac{12}{4}=3,\qquad x_2=\frac{7-5}{4}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}. \]

Дробь \(\frac{2}{4}\) обязательно сокращаем: получается \(\frac{1}{2}\).

Проверка по Виете (сумма и произведение корней):

\[ 3+\frac{1}{2}=\frac{7}{2}=-\frac{b}{a},\qquad 3\cdot\frac{1}{2}=\frac{3}{2}=\frac{c}{a}. \]

Всё сходится.

Пример 2: дискриминант — не полный квадрат

\[ 2x^2-3x-1=0. \]

\[ D=(-3)^2-4\cdot2\cdot(-1)=9+8=17. \]

\[ x_{1,2}=\frac{3\pm\sqrt{17}}{4}. \]

Здесь корни \(\frac{3+\sqrt{17}}{4}\) и \(\frac{3-\sqrt{17}}{4}\) — дробные и иррациональные, но записывать их так и нужно: точнее не упростить.

Если сами коэффициенты дробные

Умножь всё уравнение на общий знаменатель — корни не изменятся. Например:

\[ \frac{1}{2}x^2-\frac{3}{2}x+1=0 \quad\Longrightarrow\quad x^2-3x+2=0, \]

откуда \(x=1\) и \(x=2\).

Порядок действий

1. Приведи уравнение к виду \(ax^2+bx+c=0\) (при дробных коэффициентах — избавься от знаменателей).
2. Вычисли \(D=b^2-4ac\).
3. Если \(D>0\) — два корня по формуле; если \(D=0\) — один корень \(x=-\frac{b}{2a}\); если \(D<0\) — действительных корней нет.
4. Сократи получившиеся дроби.
5. Проверь подстановкой или по Виете: \(x_1+x_2=-\frac{b}{a}\), \(x_1x_2=\frac{c}{a}\).

Хочешь, дам пару похожих уравнений для тренировки — с ответами для самопроверки?