1. x² + 6x + 8 2. 3x² + 5x + 2 3. x² − 14x + 49 4. x² + x − 6 5. (2x² − 9x + 10)/(2x² + x − 15) сократить

Краткий ответ (1–4 — разложение на множители, 5 — сокращение):

1. \(x^2+6x+8=(x+2)(x+4)\)
2. \(3x^2+5x+2=(3x+2)(x+1)\)
3. \(x^2-14x+49=(x-7)^2\)
4. \(x^2+x-6=(x+3)(x-2)\)
5. \[ \frac{2x^2-9x+10}{2x^2+x-15}=\frac{x-2}{x+3}, \qquad x\ne -3,\quad x\ne 2{,}5. \]

Как это получается

Общий приём: если \(x_1\) и \(x_2\) — корни трёхчлена \(ax^2+bx+c\), то \[ ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2). \] При \(a=1\) корни удобно подбирать по теореме Виета: \[ x_1+x_2=-b,\qquad x_1x_2=c. \]

1. Для \(x^2+6x+8\) нужны числа с суммой \(-6\) и произведением \(8\). Это \(-2\) и \(-4\), поэтому: \[ (x+2)(x+4). \]

2. Здесь старший коэффициент равен \(3\), поэтому раскладываю группировкой: \[ 3x^2+5x+2=3x^2+3x+2x+2= 3x(x+1)+2(x+1)=(3x+2)(x+1). \]

3. Это полный квадрат: \[ x^2-14x+49=x^2-2\cdot 7x+7^2=(x-7)^2. \]

4. Для \(x^2+x-6\) подходят числа \(2\) и \(-3\): их сумма равна \(-1\), произведение \(-6\). Поэтому: \[ x^2+x-6=(x+3)(x-2). \]

5. Сначала раскладываю числитель и знаменатель: \[ 2x^2-9x+10=(x-2)(2x-5), \] \[ 2x^2+x-15=(2x-5)(x+3). \] Общий множитель \(2x-5\) сокращается: \[ \frac{(x-2)(2x-5)}{(2x-5)(x+3)}=\frac{x-2}{x+3}. \] При этом \(2x-5\ne0\), то есть \(x\ne2{,}5\), а также \(x\ne-3\), иначе знаменатель исходной дроби равен нулю.

Проверка для пятого номера: при \(x=1\) исходная дробь даёт \(\frac{3}{-12}=-\frac14\), и \(\frac{1-2}{1+3}=-\frac14\). Значения совпали.