19.12

Краткий ответ

1. \(105^\circ,\ 165^\circ\)
2. \(310^\circ,\ 350^\circ\)
3. \(370^\circ,\ 410^\circ\)
4. \(130^\circ,\ 170^\circ\)

Ключевые шаги

Во всех пунктах углы в градусах, \(k\) — целое. После получения общего решения подставляем такие \(k\), чтобы угол попал в заданный интервал.

1)
\[ \cos4x+\sin2x=0 \] Так как \(\cos4x=1-2\sin^2 2x\), обозначим \(t=\sin2x\): \[ 1-2t^2+t=0 \] \[ 2t^2-t-1=0 \] Отсюда \(t=1\) или \(t=-\frac12\).

• \(\sin2x=1\) даёт \(x=45^\circ+180^\circ k\) — в интервал не попадает.
• \(\sin2x=-\frac12\) даёт
  \[ x=105^\circ+180^\circ k \] или
  \[ x=165^\circ+180^\circ k. \]

В интервале \(90^\circ<x<180^\circ\) подходят \(105^\circ\) и \(165^\circ\).

2)
\[ \sin5x+\cos4x=0 \] Используем \(\cos4x=\sin(90^\circ-4x)\): \[ \sin5x+\sin(90^\circ-4x)=0 \] \[ 2\sin\frac{x+90^\circ}{2}\cos\frac{9x-90^\circ}{2}=0. \] Получаем: \[ x=360^\circ k-90^\circ \] или \[ x=30^\circ+40^\circ k. \] В интервале \(270^\circ<x<360^\circ\) подходят \(310^\circ\) и \(350^\circ\). Угол \(270^\circ\) — граница, он не включается.

3)
\[ \sin5x-\cos4x=0 \] \[ \sin5x-\sin(90^\circ-4x)=0 \] \[ 2\sin\frac{9x-90^\circ}{2}\cos\frac{x+90^\circ}{2}=0. \] Отсюда: \[ x=10^\circ+40^\circ k \] или \[ x=90^\circ+360^\circ k. \] В интервале \(360^\circ<x<450^\circ\) подходят \(370^\circ\) и \(410^\circ\). Угол \(450^\circ\) — граница.

4)
\[ \cos6x-\sin3x=0 \] Так как \(\cos6x=1-2\sin^2 3x\), обозначим \(t=\sin3x\): \[ 1-2t^2-t=0 \] \[ 2t^2+t-1=0 \] Отсюда \(t=\frac12\) или \(t=-1\).

• \(\sin3x=\frac12\) даёт
  \[ x=10^\circ+120^\circ k \] или
  \[ x=50^\circ+120^\circ k. \]
• \(\sin3x=-1\) даёт \(x=90^\circ+120^\circ k\); в интервал такие корни не попадают.

В интервале \(90^\circ<x<180^\circ\) подходят \(130^\circ\) и \(170^\circ\).

Подстановка найденных углов в исходные уравнения даёт верные равенства.