Iog/5 3x-2/x+1>o. Тоже график нужен
Краткий ответ
\[ \log_5\frac{3x-2}{x+1}>0 \iff x\in(-\infty;\,-1)\cup\left(\frac32;\,+\infty\right) \]
Почему так
1. ОДЗ. Под знаком логарифма должно быть положительное число:
\[ \frac{3x-2}{x+1}>0 \iff x<-1 \ \text{или}\ x>\frac23 \]
2. Убираем логарифм. Основание \(5>1\), значит логарифм возрастает и
\[ \log_5 A>0=\log_5 1 \iff A>1 \]
То есть
\[ \frac{3x-2}{x+1}>1 \]
3. Приводим к общему знаменателю:
\[ \frac{3x-2-(x+1)}{x+1}>0,\qquad \frac{2x-3}{x+1}>0 \]
4. Метод интервалов. Нули числителя и знаменателя: \(x=\frac32\) и \(x=-1\). Знаки дроби:
\[ \oplus\ \ (-1)\ \ \ominus\ \ \left(\tfrac32\right)\ \ \oplus \]
Получаем \(x<-1\) или \(x>\frac32\).
5. Проверка ОДЗ. Оба промежутка входят в ОДЗ \(\left(-\infty;-1\right)\cup\left(\frac23;+\infty\right)\), значит ответ годится.
Проверка точками: \(x=-2\Rightarrow \frac{3(-2)-2}{-2+1}=8>1\) ✔; \(x=2\Rightarrow \frac{4}{3}>1\) ✔; \(x=0\) — не в ОДЗ ✔.
График
Строим \(y=\log_5\dfrac{3x-2}{x+1}\). Две ветви, разрыв при \(x=-1\) и \(x=\frac23\) (вертикальные асимптоты, пунктиром). Так как \(\dfrac{3x-2}{x+1}\to 3\), есть горизонтальная асимптота \(y=\log_5 3\approx0{,}68\).
| \(x\) | \(-6\) | \(-3\) | \(-2\) | \(-1{,}5\) | \(1\) | \(1{,}5\) | \(2\) | \(4\) | \(10\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(y\) | \(0{,}86\) | \(1{,}06\) | \(1{,}29\) | \(1{,}59\) | \(-0{,}43\) | \(0\) | \(0{,}18\) | \(0{,}43\) | \(0{,}58\) |
- Левая ветвь на \((-\infty;-1)\): растёт от \(0{,}68\) до \(+\infty\), при \(x\to-1^{-}\) уходит вверх.
- Правая ветвь на \(\left(\frac23;+\infty\right)\): выходит из \(-\infty\), пересекает ось \(Ox\) в точке \(x=\frac32\) и приближается к \(0{,}68\) сверху.
Решению соответствуют те участки, где график выше оси \(Ox\): вся левая ветвь (\(x<-1\)) и часть правой при \(x>\frac32\). На числовой оси заштрихуй именно эти два луча — точки \(-1\) и \(\frac32\) выколоты.
Идея на будущее: если основание \(0<a<1\), знак неравенства переворачивается: \(\log_a A>0 \iff 0<A<1\).
Обсуждение
2 сообщенияТак а сам график то где? Ты хоть дай образец графика и точек
Рисунок я могу показать только символами (как схему), зато с точными координатами точек — по ним график легко перенести на клетчатую бумагу.
Схема графика \(y=\log_5\frac{3x-2}{x+1}\)
y
2.5 ┤ ●╎ ╎
2.0 ┤ ●╎ ╎
1.5 ┤ ● ●● ╎ ╎
1.0 ┤ ● ● ● ● ╎ ╎
0.5 ┤ ╎ ╎ ● ● ● ●
0.0 ┼──────────────────┼─────────┼────●●─●────────────
-0.5 ┤ ╎ ╎●●
-1.0 ┤ ╎ ╎●
-1.5 ┤ ╎ ╎●
-2.0 ┤ ╎ ╎●
└───┬────┬────┬────┬──┬────┬────┬────┬────┬────
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
╎ x = -1 и x = 2/3 — вертикальные асимптоты (пунктиром)
● — точки графика, ─ — ось Ox
Точки для построения
Левая ветвь (\(x<-1\)), растёт от \(y\approx0{,}68\) вверх до \(+\infty\):
| \(x\) | \(-8\) | \(-6\) | \(-4\) | \(-3\) | \(-2{,}5\) | \(-2\) | \(-1{,}5\) | \(-1{,}25\) | \(-1{,}1\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(y\) | \(0{,}81\) | \(0{,}86\) | \(0{,}96\) | \(1{,}06\) | \(1{,}15\) | \(1{,}29\) | \(1{,}59\) | \(1{,}95\) | \(2{,}47\) |
Правая ветвь (\(x>\frac23\)), идёт от \(-\infty\) вверх до \(y\approx0{,}68\):
| \(x\) | \(0{,}7\) | \(0{,}8\) | \(1\) | \(1{,}2\) | \(1{,}4\) | \(1{,}5\) | \(2\) | \(3\) | \(4\) | \(6\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(y\) | \(-1{,}76\) | \(-0{,}93\) | \(-0{,}43\) | \(-0{,}20\) | \(-0{,}05\) | \(0\) | \(0{,}18\) | \(0{,}35\) | \(0{,}43\) | \(0{,}51\) |
Опора: \(\log_5 3\approx0{,}68\) — горизонтальная асимптота, к ней обе ветви приближаются при \(x\to\pm\infty\).
Как строить по шагам
- Оси: \(x\) от \(-6\) до \(6\), \(y\) от \(-2\) до \(2{,}5\) (1 клетка = \(0{,}5\)).
- Пунктиром две вертикальные прямые: \(x=-1\) и \(x=\frac23\) — график к ним не прикасается.
- Пунктиром горизонталь \(y=0{,}68\).
- Нанеси точки из таблиц, соедини: слева — плавная кривая, уходящая вверх у \(x=-1\); справа — кривая, выходящая снизу у \(x=\frac23\), пересекающая ось в точке \(\left(\frac32;0\right)\) и выполаживающаяся к \(0{,}68\).
- Ответ \(\log_5\frac{3x-2}{x+1}>0\) — это где график выше оси Ox: вся левая ветвь (\(x<-1\)) и часть правой правее \(x=\frac32\). Точки \(-1\) и \(\frac32\) — выколоты.
