x + 2 = √(5x + 10)

Краткий ответ

\[ x=-2 \quad \text{или} \quad x=3 \]

Оба значения подходят.

Как решать

1. Область допустимых значений. Под корнем не может быть отрицательного числа:

\[ 5x+10\ge 0 \;\Rightarrow\; x\ge -2 \]

Кроме того, левая часть \(x+2\) равна корню, а корень неотрицателен, поэтому \(x+2\ge 0\), то есть \(x\ge -2\). Условия совпали.

2. Убираем корень. Возводим обе части в квадрат (при \(x\ge -2\) обе части неотрицательны, значит, лишних корней по этой причине не будет, но проверка всё равно нужна):

\[ (x+2)^2=5x+10 \]

3. Раскрываем скобки и приводим к квадратному уравнению:

\[ x^2+4x+4=5x+10 \]

\[ x^2+4x-5x+4-10=0 \]

\[ x^2-x-6=0 \]

4. Решаем. По теореме Виета сумма корней равна \(1\), произведение равно \(-6\). Это числа \(3\) и \(-2\):

\[ (x-3)(x+2)=0 \]

Проверка

• \(x=3\): слева \(3+2=5\), справа \(\sqrt{5\cdot 3+10}=\sqrt{25}=5\). Верно.
• \(x=-2\): слева \(-2+2=0\), справа \(\sqrt{-10+10}=0\). Верно.

Ответ: \(-2;\ 3\).

Главное в таких заданиях: сначала найти ОДЗ, потом возводить в квадрат и обязательно проверять найденные корни подстановкой — при возведении в квадрат иногда появляются посторонние значения.