Найдите нули функции y = f(x), если:

Краткий ответ для задания «Найдите нули функции…»:

1. Для \(y=x^2-6x-1\):
   \[ x=3-\sqrt{10},\qquad x=3+\sqrt{10}. \]

2. Для \(y=\dfrac{2x+3}{9-4x^2}\): нулей нет.

3. Для \(y=\dfrac{5x-1}{x^2+16}\):
   \[ x=\frac15=0{,}2. \]

Почему так. Нуль функции — это такое \(x\), при котором \(y=0\), причём это \(x\) должно входить в область определения функции. У дробей сначала приравниваем числитель к нулю, а потом проверяем знаменатель.

1. Решаем: \[ x^2-6x-1=0. \] \[ D=(-6)^2-4\cdot1\cdot(-1)=36+4=40. \] \[ x_{1,2}=\frac{6\pm\sqrt{40}}2 =\frac{6\pm2\sqrt{10}}2 =3\pm\sqrt{10}. \]

2. Приравниваем числитель: \[ 2x+3=0 \Rightarrow x=-\frac32. \] Но при \(x=-\frac32\) знаменатель тоже равен нулю: \[ 9-4\left(-\frac32\right)^2=9-9=0. \] То есть функция в этой точке не определена, поэтому нуля нет. Значит, у этой функции нулей нет.

3. Приравниваем числитель: \[ 5x-1=0 \Rightarrow x=\frac15. \] При этом \(x^2+16>0\) при любом \(x\), значит, знаменатель не равен нулю. Поэтому \(x=\frac15\) — настоящий нуль функции.

Проверка. Корни первой функции в сумме дают \(6\), а в произведении \(-1\), что соответствует уравнению \(x^2-6x-1=0\). Во второй функции найденная точка выколота, а в третьей знаменатель всегда положителен.