1. AC и BD — диаметры окружности с центром O. Угол ACB равен 79°. Найдите угол AOD. Ответ дайте в градусах.
Реши задание на изображении
Сверь числа и знаки с фото.
\(AC\) и \(BD\) — диаметры окружности с центром \(O\). Угол \(ACB\) равен \(79^\circ\). Найдите угол \(AOD\). Ответ дайте в градусах. [Рисунок: окружность с центром \(O\), диаметрами \(AC\) и \(BD\).]
В окружности с центром \(O\) отрезки \(AC\) и \(BD\) — диаметры. Угол \(ACB\) равен \(36^\circ\). Найдите угол \(AOD\). Ответ дайте в градусах. [Рисунок: окружность с центром \(O\), диаметрами \(AC\) и \(BD\).]
В окружности с центром \(O\) отрезки \(AC\) и \(BD\) — диаметры. Центральный угол \(AOD\) равен \(112^\circ\). Найдите вписанный угол \(ACB\). Ответ дайте в градусах. [Рисунок: окружность с центром \(O\), диаметрами \(AC\) и \(BD\).]
В окружности с центром \(O\) отрезки \(AC\) и \(BD\) — диаметры. Угол \(ACB\) равен \(26^\circ\). Найдите угол \(AOD\). Ответ дайте в градусах. [Рисунок: окружность с центром \(O\), диаметрами \(AC\) и \(BD\).]
В окружности с центром \(O\) отрезки \(AC\) и \(BD\) — диаметры. Центральный угол \(AOD\) равен \(130^\circ\). Найдите вписанный угол \(ACB\). Ответ дайте в градусах. [Рисунок: окружность с центром \(O\), диаметрами \(AC\) и \(BD\).]
Сторона \(AC\) треугольника \(ABC\) содержит центр описанной около него окружности. Найдите \(\angle C\), если \(\angle A=75^\circ\). Ответ дайте в градусах. [Рисунок: окружность; треугольник \(ABC\), сторона \(AC\) проходит через её центр.]
Сторона \(AC\) треугольника \(ABC\) проходит через центр описанной около него окружности. Найдите \(\angle C\), если \(\angle A=38^\circ\). Ответ дайте в градусах. [Рисунок: окружность; треугольник \(ABC\), сторона \(AC\) проходит через её центр.]
Сторона \(AC\) треугольника \(ABC\) проходит через центр описанной около него окружности. Найдите \(\angle C\), если \(\angle A=83^\circ\). Ответ дайте в градусах. [Рисунок: окружность; треугольник \(ABC\), сторона \(AC\) проходит через её центр.]
Сторона \(AC\) треугольника \(ABC\) проходит через центр описанной около него окружности. Найдите \(\angle C\), если \(\angle A=13^\circ\). Ответ дайте в градусах. [Рисунок: окружность; треугольник \(ABC\), сторона \(AC\) проходит через её центр.]
Сторона \(AC\) треугольника \(ABC\) проходит через центр описанной около него окружности. Найдите \(\angle C\), если \(\angle A=85^\circ\). Ответ дайте в градусах. [Рисунок: окружность; треугольник \(ABC\), сторона \(AC\) проходит через её центр.]
Треугольник \(ABC\) вписан в окружность с центром в точке \(O\). Найдите градусную меру угла \(C\) треугольника \(ABC\), если угол \(AOB\) равен \(48^\circ\). [Рисунок: окружность с центром \(O\), в неё вписан треугольник \(ABC\).]
Треугольник \(ABC\) вписан в окружность с центром в точке \(O\). Найдите градусную меру угла \(C\) треугольника \(ABC\), если угол \(AOB\) равен \(27^\circ\). [Рисунок: окружность с центром \(O\), в неё вписан треугольник \(ABC\).]
На листе 12 задач. Ниже ответы по группам; все углы — в градусах.
Группа 1: \(AC\) и \(BD\) — диаметры
| № | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| Ответ | \(\angle AOD=22^\circ\) | \(\angle AOD=108^\circ\) | \(\angle ACB=34^\circ\) | \(\angle AOD=128^\circ\) | \(\angle ACB=25^\circ\) |
Группа 2: сторона \(AC\) проходит через центр описанной окружности
| № | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| \(\angle C\) | \(15^\circ\) | \(52^\circ\) | \(7^\circ\) | \(77^\circ\) | \(5^\circ\) |
Группа 3: вписанный и центральный углы
| № | 1 | 2 |
|---|---|---|
| \(\angle C\) | \(24^\circ\) | \(13{,}5^\circ\) |
Как получаются ответы
Если \(AC\) и \(BD\) — диаметры, то \(A,O,C\) и \(B,O,D\) лежат на прямых. В равнобедренном треугольнике \(BOC\): \[ \angle BOC=180^\circ-2\angle ACB. \] Углы \(AOD\) и \(BOC\) вертикальные, поэтому \[ \angle AOD=180^\circ-2\angle ACB. \] Обратная формула: \[ \angle ACB=\frac{180^\circ-\angle AOD}{2}. \] Например, для №1: \(180^\circ-2\cdot79^\circ=22^\circ\).
Если центр описанной окружности лежит на стороне \(AC\), то \(AC\) — диаметр. Тогда угол \(B\) опирается на диаметр и равен \(90^\circ\). Значит, \[ \angle C=90^\circ-\angle A. \]
\(\angle AOB\) — центральный, \(\angle ACB\) — вписанный, они опираются на одну дугу \(AB\). Поэтому \[ \angle ACB=\frac12\angle AOB. \] В задачах на рисунке точка \(C\) расположена на большей дуге \(AB\), поэтому берём половину центрального угла.
