№3 В выпуклом четырехугольнике ABCD точки K, L, M, N — середины сторон AB, BC, CD, DA соответственно. Отрезки KM и LN пересекаются в точке E.

Кратко: а) \(12\); б) \(CD=\dfrac{5}{2}=2{,}5\).

Пусть \[ T_1=S_{EAB},\quad T_2=S_{EBC},\quad T_3=S_{ECD},\quad T_4=S_{EDA}. \]

Так как \(K,L,M,N\) — середины соответствующих сторон, то, например, \(EK\) и \(EN\) делят площади треугольников \(EAB\) и \(EAD\) пополам. Поэтому \[ S_{AKEN}=\frac{T_1+T_4}{2},\quad S_{BKEL}=\frac{T_1+T_2}{2}, \] \[ S_{CMEL}=\frac{T_2+T_3}{2},\quad S_{DNEM}=\frac{T_3+T_4}{2}. \]

Отсюда \[ S_{AKEN}+S_{CMEL}=S_{BKEL}+S_{DNEM}. \] Значит, \[ S_{CMEL}=S_{BKEL}+S_{DNEM}-S_{AKEN} =6+12-6=12. \]

Для пункта б найдём сами \(T_1,T_2,T_3,T_4\). Точка \(E\) — центр параллелограмма Вариньона, поэтому \[ \vec{EA}+\vec{EB}+\vec{EC}+\vec{ED}=0. \] Для площадей это даёт соотношение \[ T_1+T_3=T_2+T_4. \] Из условия: \[ T_1+T_4=12,\qquad T_1+T_2=12,\qquad T_3+T_4=24. \] Отсюда \(T_2=T_4=9\), \(T_1=3\), \(T_3=15\).

Возьмём аффинную систему координат с началом \(E\) и базисом \(\vec{EA},\vec{EB}\): \[ A=(1,0),\quad B=(0,1). \] Пусть \(C=(u,v)\). Так как \(E\) — центр, то \[ D=(-1-u,-1-v). \] Отношения площадей: \[ \frac{T_2}{T_1}=3=-u,\qquad \frac{T_3}{T_1}=5=v-u. \] Значит, \[ u=-3,\quad v=2. \] Тогда \[ C=(-3,2),\qquad D=(2,-3). \] Следовательно, \[ \vec{AB}=(-1,1),\qquad \vec{CD}=(5,-5)=-5\vec{AB}. \] То есть \(CD=5\cdot AB\). Поэтому \[ CD=5\cdot\frac12=\frac52=2{,}5. \]

Ответ: а) \(12\); б) \(2{,}5\).

Проверка: \(S_{AKEN}+S_{CMEL}=6+12=18=S_{BKEL}+S_{DNEM}\).