3) 10^3log10 5 =
Реши задание на изображении
Сверь числа и знаки с фото.
- 10^{3\log_{10}5} =
Ответ: \(125\).
Как рассуждать
Степень \(3\log_{10}5\) можно переписать по свойству логарифма \(n\log_a b=\log_a b^{\,n}\): \[ 3\log_{10}5=\log_{10}5^3=\log_{10}125. \]
Тогда исходное выражение принимает вид \[ 10^{3\log_{10}5}=10^{\log_{10}125}. \]
Основное тождество логарифма: \(a^{\log_a x}=x\) при \(a>0,\ a\ne1,\ x>0\). Значит, \[ 10^{\log_{10}125}=125. \]
Другой, более короткий путь — сначала внести множитель 3 в показатель степени основания: \[ 10^{3\log_{10}5}=\left(10^{\log_{10}5}\right)^3=5^3=125. \]
Проверка. \(5^3=5\cdot5\cdot5=125\), и оба способа дают одно и то же. Ключевая идея: \(a^{\log_a x}=x\), а коэффициент перед логарифмом можно превратить в степень числа под логарифмом.
Обсуждение
6 сообщений5.4 ж
Ответ: \(9\).
Решаем пункт 5.4 ж): \[ 7^{2\log_7 3}. \]
Способ 1. Внести множитель в показатель
По свойству \(n\log_a b=\log_a b^n\): \[ 2\log_7 3=\log_7 3^2=\log_7 9. \] Тогда \[ 7^{2\log_7 3}=7^{\log_7 9}=9. \]
Способ 2. Сначала применить основное тождество
\[ 7^{2\log_7 3}=\left(7^{\log_7 3}\right)^2=3^2=9. \]
Проверка: \(3^2=9\), оба способа дают одинаковый результат. Главное правило здесь то же, что и в пункте з): \(a^{\log_a x}=x\), а коэффициент перед логарифмом можно превратить в степень числа под логарифмом.
5.6
5.6. Ответы:
\[ \begin{array}{ll} \text{а)}\ \log_e e=1, & \text{б)}\ \log_e e^2=2,\\[2mm] \text{в)}\ \log_e \frac{1}{e}=-1, & \text{г)}\ \ln e=1,\\[2mm] \text{д)}\ \ln e^3=3, & \text{е)}\ \ln \frac{1}{e}=-1,\\[2mm] \text{ж)}\ \ln e^n=n, & \text{з)}\ \ln \sqrt e=\frac12,\\[2mm] \text{и)}\ \ln \sqrt[3]{\frac{1}{e}}=-\frac13. \end{array} \]
Почему так
Используем, что \(\ln x=\log_e x\), и основное свойство: \[ \ln e^k=k. \]
Например: \[ \ln \frac{1}{e}=\ln e^{-1}=-1, \] \[ \ln \sqrt e=\ln e^{1/2}=\frac12, \] \[ \ln \sqrt[3]{\frac{1}{e}} =\ln\left(e^{-1}\right)^{1/3} =\ln e^{-1/3} =-\frac13. \]
Главное правило: натуральный логарифм показывает, в какую степень нужно возвести \(e\), чтобы получить данное число.
Решение
Решение задания 5.6
Используем основное свойство натурального логарифма: \[ \ln e^k=k. \] Так как \(\log_e x=\ln x\), все пункты решаются одинаково: представляем число под логарифмом в виде степени числа \(e\).
а) \[ \log_e e=\ln e=\ln e^1=1. \]
б) \[ \log_e e^2=\ln e^2=2. \]
в) \[ \log_e \frac{1}{e}=\ln e^{-1}=-1. \]
г) \[ \ln e=\ln e^1=1. \]
д) \[ \ln e^3=3. \]
е) \[ \ln \frac{1}{e}=\ln e^{-1}=-1. \]
ж) \[ \ln e^n=n. \]
з) \[ \ln \sqrt e=\ln e^{1/2}=\frac12. \]
и) \[ \ln \sqrt[3]{\frac{1}{e}} =\ln\left(e^{-1}\right)^{1/3} =\ln e^{-1/3} =-\frac13. \]
Ответ: \[ \text{а) }1;\quad \text{б) }2;\quad \text{в) }-1;\quad \text{г) }1; \] \[ \text{д) }3;\quad \text{е) }-1;\quad \text{ж) }n;\quad \text{з) }\frac12;\quad \text{и) }-\frac13. \]
Главное здесь: натуральный логарифм показывает, в какую степень нужно возвести \(e\), чтобы получить данное число.
