Задание 5 Нарисуйте в треугольной пирамиде стандартные плоскости, проходящие через отмеченные одним цветом линию и точку (рис. 6), и раскрасьте эти плоскости в разные цвета.

Ответ. В № 5 для каждого цвета нужно построить плоскость по цветной линии и цветной точке. Внутри пирамиды она вырезает многоугольник — это сечение и закрашиваем. Линию пересечения двух плоскостей проводят через две точки, которые принадлежат сразу обеим плоскостям.

Почему это работает

1. Прямая и точка вне неё задают ровно одну плоскость: розовая линия с розовой точкой дают плоскость \(\alpha\), голубая линия с голубой точкой — плоскость \(\beta\).
2. Сечение пирамиды плоскостью — выпуклый многоугольник; каждая его сторона лежит в грани пирамиды (это след плоскости в грани).
3. Две плоскости пересекаются по прямой, а две общие точки задают эту прямую однозначно.

Как построить сечение для одного цвета

1. Найди грань, где уже есть две точки плоскости (например, концы цветной линии), и соедини их — это след в этой грани.
2. Точка, где след упирается в ребро, принадлежит и соседней грани. Через неё и цветную точку (или другую известную точку) проведи след в соседней грани.
3. Так переходи из грани в грань, пока многоугольник не замкнётся; закрась его. Следы можно продлевать по линейке: плоскость не ограничена гранями.
4. Повтори то же для второго цвета — получатся два закрашенных сечения.

Как провести линию пересечения Нужны две общие точки плоскостей \(\alpha\) и \(\beta\):

• точка пересечения цветных линий; если они не пересекаются — проверь, не лежит ли цветная точка одного цвета на цветной линии другого;
• точка пересечения следов \(\alpha\) и \(\beta\) в одной и той же грани: продли два отрезка сечений, лежащих в этой грани, до пересечения (если они параллельны, возьми другую грань).

Прямая через эти две точки — искомая линия пересечения.

Проверка Прямая должна проходить через обе найденные общие точки. Если она пересекает пирамиду, её отрезок внутри должен лежать в обоих закрашенных сечениях — по рисунку это сразу видно.

Чего не хватает На снимке цветные пометки в 6а и 6б слишком мелкие, и я не берусь угадывать, какие именно рёбра и точки отмечены. Можешь прислать крупный план 6а и 6б? Тогда я назову конкретные вершины сечений и покажу, где проходит прямая.