Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0

Краткий ответ: \(x_{1}=2,\; x_{2}=3\).

Как решать через дискриминант

Для уравнения \(ax^{2}+bx+c=0\) сначала находим дискриминант:

\[ D=b^{2}-4ac \]

Здесь \(a=1,\ b=-5,\ c=6\):

\[ D=(-5)^{2}-4\cdot 1\cdot 6=25-24=1 \]

Так как \(D>0\), корней два:

\[ x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a} \]

\[ x_{1}=\frac{5-1}{2}=2,\qquad x_{2}=\frac{5+1}{2}=3 \]

Быстрый способ по теореме Виета

Для приведённого уравнения \(x^{2}+px+q=0\) корни удовлетворяют условиям:

\[ x_{1}+x_{2}=-p,\qquad x_{1}x_{2}=q \]

У нас \(p=-5,\ q=6\), значит:

\[ x_{1}+x_{2}=5,\qquad x_{1}x_{2}=6 \]

Подходят числа \(2\) и \(3\): в сумме дают \(5\), в произведении — \(6\).

Проверка

\[ 2^{2}-5\cdot 2+6=4-10+6=0 \]

\[ 3^{2}-5\cdot 3+6=9-15+6=0 \]

Оба корня подходят.

Принцип: дискриминант показывает, сколько корней у квадратного уравнения (\(D>0\) — два, \(D=0\) — один, \(D<0\) — нет действительных корней), а формула корней даёт сами значения. Теорема Виета удобна, когда корни легко подобрать.