1. Диагональ прямоугольника равна 12 см, а высота, проведенная к ней, в три раза меньше стороны. Найдите площадь прямоугольника.

Кратко

1. \(S=32\sqrt2\ \text{см}^2\).
2. \(S=720\ \text{см}^2,\quad P=144\ \text{см}\).
3. Стороны параллелограмма: \(3\) и \(15\). Если в условии подразумевались сантиметры, то \(3\) см и \(15\) см.

Как решать

1. Высота к диагонали прямоугольника.
Пусть \(a\) — сторона, о которой говорится в условии, \(b\) — другая сторона, \(h\) — высота к диагонали. Диагональ \(d=12\) делит прямоугольник на два равных прямоугольных треугольника. Площадь одного треугольника можно записать двумя способами: \[ \frac{ab}{2}=\frac{dh}{2}. \] Отсюда \[ ab=dh=12h. \] По условию \(h=\frac{a}{3}\), значит: \[ ab=12\cdot\frac{a}{3}=4a. \] Так как \(a\neq 0\), получаем \(b=4\).

Теперь по теореме Пифагора: \[ a^2+4^2=12^2, \] \[ a^2=128,\qquad a=8\sqrt2. \] Тогда площадь прямоугольника: \[ S=ab=8\sqrt2\cdot4=32\sqrt2\ \text{см}^2. \]

Проверка: высота \(h=\frac{ab}{d}=\frac{32\sqrt2}{12}=\frac{8\sqrt2}{3}\), и это действительно \(\frac{a}{3}\).

2. Прямоугольник со сторонами 60 см и 12 см.
Площадь: \[ S=60\cdot12=720\ \text{см}^2. \] Периметр: \[ P=2(60+12)=144\ \text{см}. \]

3. Параллелограмм.
Пусть меньшая сторона равна \(x\), тогда большая равна \(5x\). У параллелограмма противоположные стороны равны, поэтому: \[ P=2(x+5x)=12x. \] По условию \(P=36\): \[ 12x=36,\qquad x=3. \] Значит, стороны равны \(3\) и \(15\).

Проверка: \[ 2(3+15)=36. \]