318 упражнение

Ответ:
а) \(x=-1\);
б) \(x=-1,\quad x=\dfrac{-3+\sqrt{33}}{2},\quad x=\dfrac{-3-\sqrt{33}}{2}\).

Как рассуждать

Для кубического уравнения с целыми коэффициентами сначала ищут целый корень среди делителей свободного члена. Если корень \(x_0\) найден, многочлен делится на \(x-x_0\), и остаётся квадратное уравнение.

1. \[ x^3+2x^2+3x+2=0 \] Свободный член равен \(2\), проверяем делители: \(\pm1,\pm2\). Подходит \(x=-1\): \[ (-1)^3+2(-1)^2+3(-1)+2=-1+2-3+2=0. \] Значит, можно разложить: \[ x^3+2x^2+3x+2=(x+1)(x^2+x+2). \] Получаем: \[ x+1=0 \quad\text{или}\quad x^2+x+2=0. \] У квадратного уравнения дискриминант \[ D=1^2-4\cdot1\cdot2=-7<0, \] поэтому действительных корней оно не даёт. Остаётся \(x=-1\).

2. \[ x^3+4x^2-3x-6=0 \] Проверяем делители свободного члена \(-6\): \(\pm1,\pm2,\pm3,\pm6\). Корень \(x=-1\): \[ (-1)^3+4(-1)^2-3(-1)-6=-1+4+3-6=0. \] Раскладываем: \[ x^3+4x^2-3x-6=(x+1)(x^2+3x-6). \] Значит, \[ x+1=0 \quad\text{или}\quad x^2+3x-6=0. \] Для квадратного уравнения: \[ D=3^2-4\cdot1\cdot(-6)=9+24=33, \] \[ x=\frac{-3\pm\sqrt{33}}{2}. \]

Проверка: подстановка \(x=-1\) в оба исходных уравнения даёт \(0\); разложения можно проверить раскрытием скобок.