Квадратичные неравенства

Ответ: \(x \in (1;\,2{,}5)\), то есть \(1 < x < 2{,}5\).

Ключевые шаги

1. Заменяем неравенство уравнением и находим корни.

\[ 2x^{2}-7x+5=0 \] \[ D=(-7)^{2}-4\cdot 2\cdot 5=49-40=9,\qquad \sqrt{D}=3 \] \[ x_{1,2}=\frac{7\pm 3}{2\cdot 2},\qquad x_{1}=\frac{4}{4}=1,\qquad x_{2}=\frac{10}{4}=2{,}5 \]

2. Смотрим на параболу. График \(y=2x^{2}-7x+5\) — парабола ветвями вверх (коэффициент при \(x^{2}\) равен \(2>0\)). Она пересекает ось \(Ox\) в точках \(1\) и \(2{,}5\), а между корнями лежит ниже оси.

\[ \begin{array}{c|ccc} x & (-\infty;1) & (1;2{,}5) & (2{,}5;+\infty)\\ \hline y & + & - & + \end{array} \]

3. Выбираем нужный промежуток. Нам нужно \(y<0\), значит берём интервал между корнями. Неравенство строгое, поэтому концы не включаются — скобки круглые:

\[ x\in(1;\,2{,}5) \]

Проверка

• \(x=0\): \(2\cdot 0-0+5=5>0\) — точка вне ответа, и правда не подходит.
• \(x=1{,}5\): \(2\cdot 2{,}25-10{,}5+5=4{,}5-10{,}5+5=-1<0\) — подходит.
• \(x=3\): \(18-21+5=2>0\) — вне ответа.

Ещё один способ убедиться — разложение на множители: \[ 2x^{2}-7x+5=2(x-1)(x-2{,}5)<0 \] Произведение отрицательно там, где множители разных знаков, то есть при \(1<x<2{,}5\).

Принцип на будущее: для \(ax^{2}+bx+c<0\) при \(a>0\) ответ — всегда интервал между корнями; для знака \(>\) — два луча за корнями. Если неравенство нестрогое (\(\le\) или \(\ge\)), корни включаются квадратными скобками.