52 53

Это продолжение задания 5.2–5.3 — спасибо за фото, всё читается.

5.2. Окружность с центром в точке O

Кратко: диаметр всегда в 2 раза больше радиуса, то есть \(d = 2r\). Например, если радиус получился 2 см, то диаметр 4 см (у тебя будет своё число — измерь свою окружность).

Как выполнить:

1. Отметь точку \(O\) — это центр.
2. Поставь ножку циркуля в \(O\), раствор поставь, например, 2 см и проведи окружность.
3. Измерь линейкой отрезок от \(O\) до любой точки окружности — это радиус \(r\).
4. Вычисли диаметр: \(d = 2r\), то есть просто удвой радиус.

Почему так: диаметр — это отрезок, который проходит через центр и соединяет две точки окружности. Он как раз состоит из двух радиусов, поэтому вдвое длиннее.

5.3. Точки K, B и D на окружности

Ответ: три точки делят окружность на три дуги:

• дуга \(KB\) (та, что не проходит через \(D\));
• дуга \(BD\) (не проходит через \(K\));
• дуга \(DK\) (не проходит через \(B\)).

Можно назвать и «большие» дуги, проходящие через третью точку: дуга \(KBD\), дуга \(BDK\), дуга \(DKB\).

Как построить: отметь центр, проведи окружность циркулем, поставь три точки \(K\), \(B\), \(D\) в разных местах линии окружности — и подпиши получившиеся дуги.

Если нужен ещё и номер 5.1 по рисунку 5.7 — скажи, разберу по пунктам а)–ж).

Уточню, чтобы не гадать: в номере 5.2 есть пункты а), б), в) с готовыми числами (радиус или диаметр), или тебе нужен другой вариант этого номера?

Пришли фото 5.2 покрупнее или выпиши числа из пунктов — и я посчитаю каждый пункт по правилу \(d = 2r\).

Пример выполнения 5.2 (как записать в тетради)

Задание. Построй окружность с центром в точке \(O\) и радиусом \(2\) см. Найди диаметр.

Решение:

1. Отмечаю точку \(O\) — центр окружности.
2. Ставлю ножку циркуля в \(O\), раствор циркуля \(2\) см, провожу окружность.
3. Провожу через центр \(O\) отрезок, соединяющий две точки окружности, — это диаметр \(AB\).
4. Считаю: \[ d = 2r = 2 \cdot 2 = 4 \text{ см}. \]

Ответ: радиус \(2\) см, диаметр \(4\) см.

Проверка: измерь линейкой свой диаметр \(AB\) — должно получиться те же \(4\) см, что и удвоенный радиус.

Попробуй теперь сам с другим числом, например \(r = 3\) см: получится \(d = 2 \cdot 3 = 6\) см.

Пример выполнения 5.3 (как записать в тетради)

Задание. Начерти окружность, отметь на ней три точки \(K\), \(B\), \(D\). Назови дуги, на которые эти точки делят окружность.

Решение:

1. Отмечаю центр \(O\), провожу окружность циркулем.
2. Ставлю на линии окружности три точки в разных местах: \(K\), \(B\), \(D\).
3. Обхожу окружность по порядку: \(K \to B \to D \to K\). Между соседними точками получаются три дуги.

Ответ: точки \(K\), \(B\), \(D\) делят окружность на три дуги:

• дуга \(KB\),
• дуга \(BD\),
• дуга \(DK\).

Проверка: у каждой дуги два конца — соседние точки, и вместе три дуги составляют всю окружность. Поэтому дуг ровно три.

Важно: точки ставь именно на линии окружности, а не внутри круга — иначе дуги не получатся.

Пример с числами (запись в тетради)

Задание. Точки \(K\), \(B\), \(D\) лежат на окружности. Дуга \(KB = 120^\circ\), дуга \(BD = 130^\circ\). Найди дугу \(DK\).

Решение: Вся окружность — это \(360^\circ\), а три дуги вместе составляют её целиком: \[ \cup KB + \cup BD + \cup DK = 360^\circ. \] Подставляю числа: \[ 120^\circ + 130^\circ + \cup DK = 360^\circ, \] \[ \cup DK = 360^\circ - 250^\circ = 110^\circ. \]

Ответ: дуга \(DK = 110^\circ\).

Проверка: \(120^\circ + 130^\circ + 110^\circ = 360^\circ\) — сходится, значит дуги найдены верно.

Ещё один случай. Если \(BD\) — диаметр, то дуга \(BD\) равна половине окружности: \[ \cup BD = \frac{360^\circ}{2} = 180^\circ. \] Тогда на две оставшиеся дуги остаётся тоже \(180^\circ\), например \(90^\circ\) и \(90^\circ\).

Главное правило примера: три дуги между тремя точками в сумме всегда дают \(360^\circ\).

Самый простой пример (5.3)

1. Черчу окружность с центром \(O\).
2. Ставлю на линии окружности три точки: \(K\), \(B\), \(D\).
3. Соединяю их по порядку — получаю три дуги.

Ответ:

• дуга \(KB\),
• дуга \(BD\),
• дуга \(DK\).

Всё: три точки на окружности дают ровно три дуги. Больше ничего считать не нужно.

Если хочешь с числами: пусть дуга \(KB = 100^\circ\), дуга \(BD = 150^\circ\). Тогда \[ \cup DK = 360^\circ - 100^\circ - 150^\circ = 110^\circ. \]

Проверка: \(100^\circ + 150^\circ + 110^\circ = 360^\circ\).

№5.5 — ответ: расстояние от центра \(O\) до каждой из точек \(A\), \(B\), \(M\), \(K\) одинаковое и равно радиусу:

\[ OA = OB = OM = OK = 2\text{ см } 5\text{ мм} = 25\text{ мм}. \]

Почему так

По определению окружность — это множество точек, равноудалённых от центра. Все точки \(A\), \(B\), \(M\), \(K\) лежат на окружности, значит каждая из них находится от центра \(O\) ровно на радиус.

Прямые здесь нужны только для того, чтобы получить эти точки: каждая прямая пересекает окружность в двух точках, всего и выходит четыре точки. Но расстояние до центра у всех четырёх одно и то же — \(2\) см \(5\) мм.

Как проверить: приложи линейку нулём к точке \(O\) и измерь до любой из точек — получится \(25\) мм. Если бы точка оказалась ближе к центру, она была бы внутри круга, а не на окружности.

Короткая запись в тетради:

\(A, B, M, K \in\) окружности \(\Rightarrow OA = OB = OM = OK = r = 2\) см \(5\) мм.

Ответ: \(2\) см \(5\) мм (для всех четырёх точек).