Как быстро-быстро понять, что перед тобой точно медиана или точно биссектриса?
Коротко: медиана — это про равные отрезки на противоположной стороне, биссектриса — про равные углы у вершины. Смотри не на то, «похоже ли» отрезок на нужный, а на метки и данные.
Тест за 5 секунд. Пусть в треугольнике \(ABC\) отрезок \(AM\) идёт из вершины \(A\) к стороне \(BC\).
Медиана: точка \(M\) — середина \(BC\), то есть \[ BM=MC. \] На рисунке это обычно одинаковые чёрточки на отрезках \(BM\) и \(MC\) или слово «середина».
Биссектриса: \(AM\) делит угол \(A\) пополам, то есть \[ \angle BAM=\angle MAC. \] На рисунке это обычно равные дуги-метки у углов или слово «биссектриса».
Если меток нет, а отрезок просто проведён «на глаз», то точно утверждать нельзя: это может быть ни медиана, ни биссектриса, а просто отрезок из вершины.
Что легко перепутать:
- отрезок, соединяющий середины двух сторон, — это средняя линия, а не медиана;
- отрезок из вершины, перпендикулярный противоположной стороне, — это высота;
- в равнобедренном треугольнике \(AB=AC\) медиана из вершины \(A\) к основанию \(BC\) одновременно является и биссектрисой, и высотой. Поэтому там «или» может спокойно оказаться «и».
Проверка: если в условии дано \(BM=MC\), смело называй \(AM\) медианой. Если дано \(\angle BAM=\angle MAC\), это биссектриса. Если не дано ни то ни другое — «точно» определить нельзя.
Обсуждение
7 сообщенийА если просто дан треугольник, а задании написано: "Определите, что это: медиана или треугольник"
Похоже, в задании опечатка: обычно пишут «медиана или биссектриса» (или «медиана, биссектриса или высота»). Если так, действуй по рисунку, а не по названию.
Порядок действий:
Ищи метки на стороне. Одинаковые чёрточки на двух частях противоположной стороны — это деление пополам, значит медиана.
Ищи метки у вершины. Равные дуги при угле, из которого вышел отрезок, — угол поделён пополам, значит биссектриса.
Ищи прямой угол. Квадратик там, где отрезок упирается в сторону, — это высота (и она не обязана быть медианой или биссектрисой).
Если меток нет совсем — «точно» определить нельзя. В таких задачах либо ответ «ни то, ни другое, это просто отрезок / высота», либо нужны дополнительные данные из условия: равные стороны, равные углы, « \(M\) — середина \(BC\) » текстом.
Важная ловушка: в равнобедренном треугольнике \(AB=AC\) отрезок из вершины \(A\) к основанию \(BC\) может быть сразу медианой, биссектрисой и высотой — тогда правильный ответ «и то и другое», а не выбор одного.
Уточни одно: в задании правда написано «медиана или треугольник»? Пришли фото рисунка или точную формулировку — по нему сразу скажу, что именно перед тобой.
Ах, да😅 Просто дан треугольник, а в задании: Определите, что это: медиана или биссектриса
Ах, да😅 Просто дан треугольник, а в задании: Определите, что это: медиана или биссектриса
Тогда без рисунка ответить «точно» невозможно: и медиана, и биссектриса — это отрезки внутри треугольника, а не сам треугольник. Значит, в фигуре должна быть проведена линия из какой-то вершины.
Как решать самому, если рисунок перед глазами:
- Найди отрезок, выходящий из вершины и попадающий на противоположную сторону. Пусть это \(AM\) в треугольнике \(ABC\), где \(M\) лежит на \(BC\).
- Смотри метки на стороне \(BC\):
- одинаковые чёрточки на \(BM\) и \(MC\) \(\Rightarrow\) \(BM=MC\) \(\Rightarrow\) это медиана;
- меток нет \(\Rightarrow\) медианой называть нельзя.
- Смотри метки у вершины \(A\):
- одинаковые дуги у углов \(BAM\) и \(MAC\) \(\Rightarrow\) \(\angle BAM=\angle MAC\) \(\Rightarrow\) это биссектриса;
- меток нет \(\Rightarrow\) биссектрисой называть нельзя.
- Если есть квадратик в точке \(M\) — это высота, и она может не быть ни медианой, ни биссектрисой.
- Если никаких меток нет, а просто проведён отрезок — правильный вывод: ни то, ни другое, это произвольный отрезок (чевиана). Определить «точно» по одному рисунку без меток нельзя.
Особый случай: если в треугольнике \(AB=AC\) (равнобедренный) и отрезок идёт из вершины \(A\) к основанию \(BC\), то он может быть и медианой, и биссектрисой, и высотой одновременно — тогда ответ «и то, и другое».
Пришли фото рисунка (или напиши, какие метки на нём стоят: чёрточки на стороне, дуги у угла, квадратик) — скажу точно, что это.
Тогда ответ зависит только от рисунка: в самом тексте «медиана или биссектриса» подсказки нет.
Смотри на отрезок, проведённый из вершины:
- Медиана — если он приходит в середину противоположной стороны. Признак на рисунке: равные чёрточки на двух половинках этой стороны, иногда подпись «середина».
- Биссектриса — если он делит угол при вершине пополам. Признак: равные дуги-метки у двух получившихся углов.
Если на рисунке нет ни равных чёрточек, ни равных дуг, то «точно» выбрать нельзя — возможно, это ни то ни другое. Иногда в таких задачах отрезок специально проведён «просто так», и правильный ответ — «не является ни медианой, ни биссектрисой».
Пришли фото рисунка или напиши, какие метки на нём стоят (равные отрезки? равные углы? прямой угол?), — я сразу скажу, что это.
Конспекты по всем параграфам учебника история нового времени, 7 класс. Мединский
