Укажите выражения, которые имеют смысл при x = 1.

Краткий ответ: подходят 1-е, 3-е и 4-е выражения. Второе выражение при \(x=1\) смысла не имеет.

Почему: выражение имеет смысл, если при подстановке \(x=1\) его можно вычислить. Главное ограничение — нельзя делить на нуль.

1. \[ \frac{x-1}{x}=\frac{1-1}{1}=\frac{0}{1}=0 \] Деления на нуль нет — выражение имеет смысл.

2. \[ \frac{x}{x-1}=\frac{1}{1-1}=\frac{1}{0} \] На нуль делить нельзя — выражение не имеет смысла.

3. \[ x^{2}-1=1^{2}-1=0 \] Это многочлен, он определён при любом \(x\), значит, и при \(x=1\).

4. \[ x(x-1)=1\cdot(1-1)=0 \] Тоже многочлен, значение вычисляется.

Проверка: единственное «опасное» место — знаменатель \(x-1\) во втором выражении. При \(x=1\) он равен нулю, поэтому второе выражение отпадает.

Ответ: 1, 3, 4.