Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0
Краткий ответ
\[ x_1 = 2,\qquad x_2 = 3 \]
То есть корни — 2 и 3 (ответ можно записать как \(x = 2;\ 3\)).
Как это получается
Способ 1. По теореме Виета (самый быстрый)
Уравнение приведённое: коэффициент при \(x^2\) равен 1, значит \(x^2 + px + q = 0\), где \(p = -5\), \(q = 6\). Для такого уравнения:
\[ x_1 + x_2 = -p = 5,\qquad x_1 \cdot x_2 = q = 6 \]
Ищем два числа с суммой 5 и произведением 6 — это 2 и 3.
Способ 2. Через дискриминант (универсальный)
\[ D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1 \]
\(D > 0\), значит два корня:
\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 \pm 1}{2} \]
\[ x_1 = \frac{5 - 1}{2} = 2,\qquad x_2 = \frac{5 + 1}{2} = 3 \]
Способ 3. Разложение на множители
\[ x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3) = 0 \]
Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель нулевой: \(x - 2 = 0\) или \(x - 3 = 0\).
Проверка
\[ 2^2 - 5 \cdot 2 + 6 = 4 - 10 + 6 = 0 \]
\[ 3^2 - 5 \cdot 3 + 6 = 9 - 15 + 6 = 0 \]
Оба корня подходят.
Принцип для похожих заданий
- Если коэффициент при \(x^2\) равен 1 — сначала пробуй Виета: сумма корней равна \(-p\), произведение равно \(q\).
- Если числа не подбираются (или \(q\) большой) — считай дискриминант: \(D > 0\) — два корня, \(D = 0\) — один, \(D < 0\) — корней нет.
- Всегда делай проверку подстановкой.
