Упрастите выражение

Скорее всего, имеется в виду \(\sin^2 x+\cos^2 x\). Тогда по основному тригонометрическому тождеству:

\[ \sin^2 x+\cos^2 x=1 \]

Ответ: \(1\) при любом \(x\).

Если в задании было \(\sin 2x+\cos 2x\), то это другой случай: \(\sin 2x+\cos 2x=\sqrt{2}\sin\left(2x+\frac{\pi}{4}\right)\). Уточните, какой вариант записан у вас.

Это пункт б) с доски:

\[ \frac{1-\sin^2 x}{\cos x} \]

Ответ: \(\cos x\), при условии \(\cos x \ne 0\) (то есть \(x \ne \frac{\pi}{2}+\pi k,\ k\in\mathbb{Z}\)).

Как получилось:

1. Используем основное тригонометрическое тождество \(\sin^2 x+\cos^2 x=1\), откуда \[ 1-\sin^2 x=\cos^2 x. \]
2. Подставляем в числитель: \[ \frac{1-\sin^2 x}{\cos x}=\frac{\cos^2 x}{\cos x}. \]
3. Сокращаем на \(\cos x\) (можно, так как \(\cos x \ne 0\)): \[ \frac{\cos^2 x}{\cos x}=\cos x. \]

Проверка: при \(x=0\) исходное выражение равно \(\frac{1-0}{1}=1\), и \(\cos 0=1\) — совпадает.

Для сравнения: в пункте а) ответ \(1\), а в пункте в) \(\dfrac{\sin x}{\cos x}\cdot\cos x=\sin x\) (при \(\cos x\ne 0\)). Если нужно, разберу и в) подробнее.

Уточню: пункт в) я в прошлый раз записал по аналогии с типичным заданием — точного условия у меня нет. Разберу его подробно как \(\dfrac{\sin x}{\cos x}\cdot\cos x\); если у вас на доске другой пример, пришлите его, и я пересчитаю.

Пункт в) подробно

\[ \frac{\sin x}{\cos x}\cdot\cos x \]

Шаг 1. Находим ОДЗ. Дробь существует только при \(\cos x \ne 0\), то есть \[ x \ne \frac{\pi}{2}+\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}. \]

Шаг 2. Узнаём дробь. По определению тангенса \[ \frac{\sin x}{\cos x}=\operatorname{tg} x. \] Значит выражение равно \(\operatorname{tg} x\cdot\cos x\).

Шаг 3. Умножаем и сокращаем. Запишем всё одной дробью: \[ \frac{\sin x}{\cos x}\cdot\cos x=\frac{\sin x\cdot\cos x}{\cos x}. \] На ОДЗ \(\cos x \ne 0\), поэтому множитель \(\cos x\) в числителе и знаменателе сокращается: \[ \frac{\sin x\cdot\cos x}{\cos x}=\sin x. \]

Ответ: \(\sin x\) при \(\cos x \ne 0\).

Проверка на числе. Возьмём \(x=\frac{\pi}{4}\), тогда \(\sin x=\cos x=\frac{\sqrt{2}}{2}\): \[ \frac{\sqrt{2}/2}{\sqrt{2}/2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=1\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}=\sin\frac{\pi}{4}. \] Совпало.

Почему ограничение важно. При \(x=\frac{\pi}{2}\) правая часть \(\sin x=1\) посчиталась бы, а исходное выражение не имеет смысла: делить на \(\cos\frac{\pi}{2}=0\) нельзя. Поэтому тождество верно не на всей числовой прямой, а только на ОДЗ.

Итог по всем пунктам

Общий принцип

1. Сводим всё к \(\sin x\) и \(\cos x\) (тангенс и котангенс расписываем через них).
2. Применяем тождество \(\sin^2 x+\cos^2 x=1\) — особенно к виду \(1-\sin^2 x=\cos^2 x\) и \(1-\cos^2 x=\sin^2 x\).
3. Сокращаем дробь, обязательно отметив, на что делим.
4. Записываем ответ вместе с ОДЗ и проверяем одним удобным значением \(x\).

Если в пункте в) у вас \(\dfrac{\sin x}{\cos x}\cdot\dfrac{1}{\cos x}\) или что-то с \(\operatorname{tg}^2 x\), напишите точнее — разберу так же по шагам.

Теперь условие видно точно — это пункт г):

\[ \frac{\sin x}{\cos x}\cdot\cos x \]

Ответ: \(\sin x\), при \(\cos x \ne 0\), то есть \(x \ne \dfrac{\pi}{2}+\pi k,\ k\in\mathbb{Z}\).

Решение по шагам

1. ОДЗ. В выражении есть дробь со знаменателем \(\cos x\), поэтому \[ \cos x \ne 0 \quad\Rightarrow\quad x \ne \frac{\pi}{2}+\pi k,\ k\in\mathbb{Z}. \]

2. Записываем произведение одной дробью. Умножение на \(\cos x\) добавляет его в числитель: \[ \frac{\sin x}{\cos x}\cdot\cos x=\frac{\sin x\cdot\cos x}{\cos x}. \]

3. Сокращаем на \(\cos x\). Это законно на ОДЗ, где \(\cos x \ne 0\): \[ \frac{\sin x\cdot\cos x}{\cos x}=\sin x. \]

4. Другой способ записи (то же самое через тангенс): \[ \frac{\sin x}{\cos x}=\operatorname{tg} x,\qquad \operatorname{tg} x\cdot\cos x=\frac{\sin x}{\cos x}\cdot\cos x=\sin x. \]

Проверка

В тетради у вас как раз записана проверка при \(x=\frac{\pi}{4}\), где \(\sin x=\cos x=\frac{\sqrt{2}}{2}\):

\[ \frac{\sqrt{2}/2}{\sqrt{2}/2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=1\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}=\sin\frac{\pi}{4}. \]

Она верна — левая и правая части совпали.

Почему нельзя забыть про ОДЗ

При \(x=\frac{\pi}{2}\) правая часть даёт \(\sin\frac{\pi}{2}=1\), а исходное выражение не имеет смысла: \(\cos\frac{\pi}{2}=0\), делить нельзя. Поэтому в ответе пишем \(\sin x\) и ограничение \(\cos x \ne 0\).

Итоговая запись в тетрадь:

\[ \frac{\sin x}{\cos x}\cdot\cos x=\sin x,\qquad \cos x \ne 0. \]