Контрольная работа Тема: «Показательная и логарифмическая функции. Решение уравнений и неравенств» Вариант 3

Краткие ответы

1. \(D(y)=(-\infty;7)\).
2. Функция убывает на \(\mathbb R\).
3. а) \(4\); б) \(3\).
4. \(5^{15}=30\,517\,578\,125\).
5. \(x=\frac56\).
6. \(x\in\left(\frac{11}{5};+\infty\right)\).
7. \(x=60\).
8. \(x\in(1;5)\).

Разбор

1. Аргумент логарифма должен быть положительным: \[ 7-x>0 \quad\Rightarrow\quad x<7. \] Поэтому область определения: \((-\infty;7)\).

2. У функции \(y=\left(\frac15\right)^x\) основание \(0<\frac15<1\). Поэтому при увеличении \(x\) значение \(y\) уменьшается — функция убывает на всей области определения.

3. а) \[ \log_5 10+\log_5 125-\log_5 2 =\log_5\frac{10\cdot125}{2} =\log_5 625=4, \] так как \(5^4=625\).

б) \[ \log_5 250-\log_5 2 =\log_5\frac{250}{2} =\log_5 125=3. \]

4. Переходим к основанию \(5\): \[ \frac{5^{x-3}\cdot25^x}{125^{x-6}} = \frac{5^{x-3}\cdot5^{2x}}{5^{3x-18}} = 5^{x-3+2x-3x+18} = 5^{15}. \]

5. Так как \(9=3^2\), а \(27=3^3\): \[ 9^{3x-1}=27 \quad\Rightarrow\quad 3^{2(3x-1)}=3^3. \] Показатели равны: \[ 2(3x-1)=3,\qquad 6x-2=3,\qquad x=\frac56. \]

6. Замечаем, что \(\frac1{32}=\left(\frac12\right)^5\): \[ \left(\frac12\right)^{\frac{5x-1}{2}}<\left(\frac12\right)^5. \] Основание меньше \(1\), поэтому знак неравенства меняется: \[ \frac{5x-1}{2}>5. \] Отсюда: \[ 5x-1>10,\qquad x>\frac{11}{5}. \]

7. По определению логарифма: \[ \log_2(x+4)=6 \quad\Rightarrow\quad x+4=2^6=64, \] значит \(x=60\).

8. Аргумент логарифма положителен, поэтому \(x-1>0\), то есть \(x>1\). Далее: \[ \log_2(x-1)<2 \quad\Rightarrow\quad x-1<2^2=4. \] Получаем \(1<x<5\).

Проверка: \(9^{3\cdot\frac56-1}=9^{3/2}=27\); \(\log_2(60+4)=\log_2 64=6\). В № 8 при \(x=5\) получается равенство, поэтому точка \(5\) не включается.