5. lim x→0 sin 5x·ctg 4x

Краткий ответ: \(\displaystyle \frac54\).

Имеем неопределённость \(0\cdot\infty\), поэтому сначала выразим котангенс через синус и косинус:

\[ \sin 5x\cdot \operatorname{ctg}4x = \sin5x\cdot \frac{\cos4x}{\sin4x} = \frac{\sin5x}{\sin4x}\cdot \cos4x. \]

Теперь используем первый замечательный предел \(\displaystyle \lim_{t\to0}\frac{\sin t}{t}=1\):

\[ \frac{\sin5x}{\sin4x} = \frac{\sin5x}{5x}\cdot \frac{4x}{\sin4x}\cdot \frac{5}{4}. \]

При \(x\to0\):

\[ \frac{\sin5x}{5x}\to1,\qquad \frac{4x}{\sin4x}\to1,\qquad \cos4x\to1. \]

Значит,

\[ \lim_{x\to0}\sin5x\cdot \operatorname{ctg}4x = 1\cdot1\cdot\frac54\cdot1 = \frac54. \]

Принцип: если в пределе появляются \(\sin(kx)\), полезно домножить и разделить на \(kx\), чтобы получить первый замечательный предел.