Множество, подмножество, примеры множество
Кратко: множество — это совокупность объектов, которые называют его элементами. Подмножество — это множество, все элементы которого входят в другое множество.
1. Множество
Множество задают перечислением элементов или описанием их свойства.
Примеры:
- множество цифр: \[ A=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}; \]
- множество гласных букв русского языка: \[ B=\{а,е,ё,и,о,у,ы,э,ю,я\}; \]
- множество натуральных чисел: \[ \mathbb{N}=\{1,2,3,4,\ldots\}; \]
- пустое множество: \[ \varnothing=\{\}. \]
Если объект \(x\) принадлежит множеству \(A\), пишут \(x\in A\). Если не принадлежит — \(x\notin A\).
2. Подмножество
Множество \(A\) называют подмножеством множества \(B\), если каждый элемент \(A\) является элементом \(B\). Обозначение:
\[ A\subseteq B. \]
Если при этом \(A\neq B\), то \(A\) — собственное подмножество \(B\):
\[ A\subset B. \]
3. Пример
Пусть
\[ B=\{1,2,3,4,5\}, \qquad A=\{2,4\}. \]
Тогда \(A\subseteq B\), потому что числа \(2\) и \(4\) входят в \(B\). Более того, \(A\subset B\), так как \(A\neq B\).
А множество
\[ C=\{2,6\} \]
не является подмножеством \(B\), потому что \(6\notin B\).
4. Что важно помнить
- Любое множество является подмножеством самого себя: \[ A\subseteq A. \]
- Пустое множество является подмножеством любого множества: \[ \varnothing\subseteq A. \]
- Порядок элементов в множестве не важен: \[ \{1,2,3\}=\{3,1,2\}. \]
- Повторяющиеся элементы в записи множества не повторяют: \[ \{1,1,2\}=\{1,2\}. \]
Проверка: чтобы определить, является ли \(A\) подмножеством \(B\), достаточно проверить каждый элемент из \(A\): если все они есть в \(B\), то \(A\subseteq B\); если хотя бы один отсутствует, то нет.
