Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0

Тогда давай посмотрим на это уравнение «по-взрослому» — не как на набор действий, а как на структуру.

1. Быстрое решение по Виету

Для приведённого уравнения \(x^2+px+q=0\) (то есть \(a=1\)) корни удовлетворяют

\[ x_1+x_2=-p,\qquad x_1x_2=q. \]

У нас \(p=-5,\ q=6\):

\[ x_1+x_2=5,\qquad x_1x_2=6. \]

Пара \((2;3)\) — единственное решение системы (корни квадратного уравнения однозначно задаются суммой и произведением). Значит \(x_1=2,\ x_2=3\).

2. Завершение квадрата — взгляд через сдвиг

\[ x^2-5x+6=\left(x-\frac{5}{2}\right)^2-\frac{25}{4}+6 =\left(x-\frac{5}{2}\right)^2-\frac{1}{4}. \]

То есть уравнение эквивалентно

\[ \left(x-\frac{5}{2}\right)^2=\left(\frac{1}{2}\right)^2. \]

Отсюда сразу видно геометрию: корни симметричны относительно вершины параболы \(x_0=-\frac{b}{2a}=\frac{5}{2}\) и отстоят от неё на \(\frac{\sqrt{D}}{2a}=\frac{1}{2}\). В общем виде:

\[ x_{1,2}=-\frac{b}{2a}\pm\frac{\sqrt{D}}{2a}. \]

Дискриминант здесь — это, по сути, \((2a)^2\), умноженное на квадрат полурасстояния между корнями: \(D=(a(x_1-x_2))^2\).

3. Общий случай и что даёт \(D\)

\[ D=b^2-4ac. \]

• \(D>0\): два различных действительных корня, график \(y=ax^2+bx+c\) пересекает ось \(Ox\) в двух точках;
• \(D=0\): корень кратности 2, вершина лежит на оси;
• \(D<0\): действительных корней нет, но есть комплексно-сопряжённые \[ x_{1,2}=-\frac{b}{2a}\pm i\frac{\sqrt{|D|}}{2a}. \]

У нас \(D=1\), \(|x_1-x_2|=\frac{\sqrt{D}}{|a|}=1\) — согласуется с \(3-2=1\).

4. Проверка

\[ 2+3=5,\qquad 2\cdot3=6,\qquad 2^2-5\cdot2+6=0,\quad 3^2-5\cdot3+6=0. \]

Ответ: \(x_1=2,\ x_2=3\).

Если хочешь, могу показать тот же пример через производную (вершина как стационарная точка) или разобрать случай с параметром — например, при каких \(k\) уравнение \(x^2-5x+k=0\) имеет два положительных корня.

Теорема Виета. Если \(x_1,x_2\) — корни уравнения \(ax^2+bx+c=0\) (\(a\neq 0\)), то

\[ x_1+x_2=-\frac{b}{a},\qquad x_1x_2=\frac{c}{a}. \]

Для приведённого уравнения \(x^2+px+q=0\) (\(a=1\)):

\[ x_1+x_2=-p,\qquad x_1x_2=q. \]

Доказательство (через разложение на множители)

Если \(x_1,x_2\) — корни, то квадратный трёхчлен раскладывается так:

\[ ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2). \]

Раскроем скобки:

\[ a(x-x_1)(x-x_2)=a\bigl(x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2\bigr) =ax^2-a(x_1+x_2)x+ax_1x_2. \]

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях \(x\):

\[ b=-a(x_1+x_2)\ \Rightarrow\ x_1+x_2=-\frac{b}{a}, \qquad c=ax_1x_2\ \Rightarrow\ x_1x_2=\frac{c}{a}. \]

Обратная теорема Виета (часто нужнее прямой). Если числа \(x_1,x_2\) таковы, что

\[ x_1+x_2=-\frac{b}{a},\qquad x_1x_2=\frac{c}{a}, \]

то эти числа — корни уравнения \(ax^2+bx+c=0\). Именно этим оправдан подбор корней: для \(x^2-5x+6=0\) сумма \(5\), произведение \(6\) — подходят \(2\) и \(3\), и по обратной теореме других корней нет.

Почему это работает и в вырожденном случае. При \(D=0\) корень один, \(x_1=x_2=-\frac{b}{2a}\); формально сумма \(2x_1=-\frac{b}{a}\) и произведение \(x_1^2=\frac{c}{a}\) (так как \(c=\frac{b^2}{4a}\)) — формулы остаются верными с учётом кратности. При \(D<0\) они выполняются для комплексных корней.

Что реально даёт теорема на практике

• Подбор корней без дискриминанта, когда корни целые: \(x^2-7x+12=0\Rightarrow 3+4=7,\ 3\cdot4=12\).
• Знаки корней. Для \(x^2+px+q=0\): \(q>0\) — корни одного знака (при \(p<0\) оба положительны, при \(p>0\) оба отрицательны); \(q<0\) — корни разных знаков.
• Симметрические функции корней выражаются через \(p,q\): \[ x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=p^2-2q, \] \[ \frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}=-\frac{p}{q}, \] \[ |x_1-x_2|=\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}=\sqrt{p^2-4q}=\sqrt{D}. \]
• Обратная задача: составить уравнение по корням — \(x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2=0\).
• Задачи с параметром решаются почти всегда через Виета плюс условия на \(D\) и знаки корней. Пример: \(x^2-5x+k=0\) имеет два положительных корня ⟺ \[ D=25-4k>0,\quad x_1+x_2=5>0,\quad x_1x_2=k>0 \ \Longrightarrow\ 0<k<\frac{25}{4}. \]

Ключевая идея: Виет связывает корни с коэффициентами, то есть переводит задачу о корнях в задачу о коэффициентах — а коэффициенты обычно и заданы.