3. Решите неравенство методом интервалов

Задание 3: \((x-1)(x+5)(x-8)>0\).

Краткий ответ: \[ x\in(-5;\,1)\cup(8;\,+\infty) \]

Как решать методом интервалов:

1. Находим нули множителей: \[ x-1=0 \Rightarrow x=1,\qquad x+5=0 \Rightarrow x=-5,\qquad x-8=0 \Rightarrow x=8. \]

2. Отмечаем числа \(-5,\ 1,\ 8\) на числовой прямой. Неравенство строгое, поэтому точки выколоты.

3. Определяем знаки произведения на промежутках: \[ (-\infty;-5):\ -,\qquad (-5;1):\ +,\qquad (1;8):\ -,\qquad (8;+\infty):\ +. \] Справа от \(8\) произведение положительно, дальше знаки чередуются, потому что все множители в первой степени.

4. Нам нужны промежутки со знаком «плюс»: \[ (-5;1)\quad \text{и}\quad (8;+\infty). \]

Проверка:
При \(x=0\): \[ (-1)\cdot 5\cdot(-8)=40>0 \] — подходит.
При \(x=2\): \[ 1\cdot 7\cdot(-6)=-42<0 \] — не подходит.
При \(x=9\): \[ 8\cdot 14\cdot 1=112>0 \] — подходит.

На фото я читаю строгий знак \(>0\). Если в тетради стоит \(\ge 0\), то концы включаются: \[ [-5;1]\cup[8;+\infty). \]