1. lim x→∞ (1 + 1/x)⁴ˣ

Краткий ответ: \[ 1)\ e^4,\qquad 2)\ e^{19},\qquad 3)\ e^{2/3},\qquad 4)\ e^m,\qquad 5)\ e^6. \]

Как решать. Во всех примерах при подстановке получается неопределённость \(1^\infty\). Используем второй замечательный предел: \[ \lim_{u\to0}(1+u)^{1/u}=e. \] Если \(u(x)\to0\), \(v(x)\to\infty\) и \(u(x)v(x)\to A\), то \[ (1+u(x))^{v(x)}=\left[(1+u(x))^{1/u(x)}\right]^{u(x)v(x)}\to e^A. \] То есть нужно получить в показателе множитель, обратный добавке, а «остаток» показателя даст степень числа \(e\).

1. \(\displaystyle \left(1+\frac1x\right)^{4x}=\left[\left(1+\frac1x\right)^x\right]^4\to e^4\).

2. \(\displaystyle \left(1+\frac{19}{x}\right)^x=\left[\left(1+\frac{19}{x}\right)^{x/19}\right]^{19}\to e^{19}\).

3. \(\displaystyle (1+10x)^{\frac1{15x}}=\left[(1+10x)^{\frac1{10x}}\right]^{10/15}\to e^{2/3}\).

4. В №4 показатель читаю как \(\frac{m}{x}\): рядом указано «где \(m\) — число». Тогда \[ (1+x)^{m/x}=\left[(1+x)^{1/x}\right]^m\to e^m. \]

5. При \(x\to0\) имеем \(\sin x\to0\). Поэтому \[ (1+2\sin x)^{\frac3{\sin x}} =\left[(1+2\sin x)^{\frac1{2\sin x}}\right]^6\to e^6. \]

Проверка: во всех случаях произведение «добавки» на показатель равно числу, которое стоит в степени \(e\): \(4,\ 19,\ \frac23,\ m,\ 6\).