№2 Диагональ BD параллелограмма ABCD перпендикулярна стороне AB, M — середина стороны AD, прямые BM и CD пересекаются в точке K.

Краткий ответ: а) \(MO_1\parallel BD\); б) \(S_{BO_1MO_2}=\dfrac{45}{4}=11{,}25\).

Решение

1. В \(\triangle ABD\) угол \(B\) прямой, так как \(BD\perp AB\). Точка \(M\) — середина гипотенузы \(AD\), поэтому
   \[ AM=BM=\frac{AD}{2}=5. \] Значит, \(\triangle ABM\) равнобедренный с основанием \(AB\). Центр \(O_1\) вписанной окружности лежит на биссектрисе угла \(M\), а в равнобедренном треугольнике эта биссектриса является также высотой к \(AB\). Поэтому \[ MO_1\perp AB. \] Но \(BD\perp AB\) по условию, следовательно, \[ MO_1\parallel BD. \] Пункт а) доказан.

2. Для пункта б введём координаты. Пусть \[ A(0;0),\quad B(6;0). \] Так как \(BD\perp AB\), абсцисса точки \(D\) равна \(6\). Из \(AD=10\) находим \(BD=8\), поэтому \[ D(6;8),\quad C(12;8),\quad M(3;4). \] Прямая \(BM\) имеет уравнение \[ y=-\frac43(x-6). \] Она пересекает \(CD\) (то есть прямую \(y=8\)) в точке \[ K(0;8). \] Тогда \[ BK=BC=10,\qquad CK=12. \]

3. В \(\triangle ABM\) стороны равны \(5,5,6\), высота к \(AB\) равна \(4\). Его площадь \(12\), полупериметр \(8\), поэтому \[ r_1=\frac{12}{8}=\frac32. \] Из симметрии \(O_1\in\{x=3\}\), значит \[ O_1\left(3;\frac32\right). \]

В \(\triangle BCK\) стороны \(10,10,12\), высота к \(CK\) равна \(8\). Площадь равна \(48\), полупериметр \(16\), поэтому \[ r_2=\frac{48}{16}=3. \] Из симметрии \(O_2\) лежит на прямой \(x=6\); расстояние от него до \(CK\) равно \(3\), значит \[ O_2(6;5). \]

4. Отрезки \(MO_1\) и \(BO_2\) вертикальны, следовательно, параллельны. Это основания трапеции: \[ MO_1=4-\frac32=\frac52,\qquad BO_2=5. \] Расстояние между прямыми \(x=3\) и \(x=6\) равно \(3\). Поэтому \[ S_{BO_1MO_2} =\frac{1}{2}\left(\frac52+5\right)\cdot 3 =\frac{45}{4} =11{,}25. \]

Ответ: а) доказано; б) \(11{,}25\).