Реши задание на изображении

Краткий ответ

• №4: \(\displaystyle\lim_{x\to 0}(1+x)^{1/x}=e\).
• №5: показатель степени на фото размыт — читается только «1» в числителе, знаменатель не разобрать. Если там \(\frac{1}{2\sin x}\), ответ \(e\); если \(\frac{1}{x}\), ответ \(e^{2}\).

Главный приём — второй замечательный предел

\[ \lim_{t\to 0}(1+t)^{1/t}=e \]

Он «срабатывает» на неопределённости вида \(1^{\infty}\): основание стремится к 1, показатель — к бесконечности. Секрет в том, что показатель должен быть ровно обратным к добавке \(t\): если добавка \(t\), то степень \(\frac{1}{t}\).

№4. Разбор

Здесь добавка — сам \(x\), и \(x\to 0\), поэтому подстановка \(t=x\) даёт предел сразу в нужной форме:

\[ \lim_{x\to 0}(1+x)^{1/x}=e \]

Проверка через логарифм (тот же приём, но универсальнее). Пусть \(L\) — искомый предел, тогда \[ \ln L=\lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+x)}{x}=1, \] так как \(\ln(1+x)\sim x\) при \(x\to 0\). Значит \(L=e^{1}=e\).

Численная проверка: при \(x=0{,}01\) получаем \((1{,}01)^{100}\approx 2{,}705\), а \(e\approx 2{,}718\) — сходится.

№5. Как рассуждать

Добавка здесь \(f(x)=2\sin x\), и при \(x\to 0\) она стремится к нулю. «Правильная» степень — обратная к добавке: \[ (1+2\sin x)^{\frac{1}{2\sin x}}\to e . \] Дальше всё решает то, что стоит в знаменателе показателя:

• если степень \(\frac{1}{2\sin x}\) — она уже «подогнана», ответ \(e\);
• если степень \(\frac{1}{x}\) — подгоняем сами: \[ (1+2\sin x)^{1/x}=\left[(1+2\sin x)^{\frac{1}{2\sin x}}\right]^{\frac{2\sin x}{x}}\to e^{2}, \] потому что внутренняя скобка даёт \(e\), а показатель \(\frac{2\sin x}{x}\to 2\) (первый замечательный предел).

Смысл принципа: сначала приводим основание к виду \((1+t)\), затем «уравниваем» показатель с \(\frac{1}{t}\), а лишний множитель выносим наружу как степень \(e\).

Чтобы дать точный ответ по №5, пришли, пожалуйста, более чёткий снимок именно показателя степени в этом номере.