Решите уравнение

Уравнение с фото: \(\sin x=\frac{1}{2}\).

Ответ: \[ x=(-1)^{n}\cdot\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z} \] (в градусах это \(30^\circ\) и \(150^\circ\) с периодом \(360^\circ\)).

Как получить

1. Ищем угол, у которого синус равен \(\frac12\). На единичной окружности это точки с ординатой \(\frac12\): угол \(\frac{\pi}{6}\) (\(30^\circ\)) и симметричный ему \(\pi-\frac{\pi}{6}=\frac{5\pi}{6}\) (\(150^\circ\)).

2. Значит, решений две серии: \[ x_1=\frac{\pi}{6}+2\pi k,\qquad x_2=\frac{5\pi}{6}+2\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}. \]

3. Эти две серии записывают одной формулой: \[ x=(-1)^{n}\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}. \] Множитель \((-1)^n\) как раз «переключает» угол между \(\frac{\pi}{6}\) и \(\frac{5\pi}{6}\): при чётном \(n\) получаем первую серию, при нечётном — вторую.

Проверка. При \(n=0\): \(\sin\frac{\pi}{6}=\frac12\) ✓. При \(n=1\): \(\sin\left(-\frac{\pi}{6}+\pi\right)=\sin\frac{5\pi}{6}=\frac12\) ✓.

Похожая задача для тренировки: \(\cos x=\frac{\sqrt{2}}{2}\) — попробуйте решить по той же схеме через единичную окружность.

Ответ: \[ x=\frac{\pi}{2}+\pi k,\quad k\in\mathbb{Z} \] (в градусах: \(90^\circ\) и \(270^\circ\), повтор через \(180^\circ\)).

Как получить

1. На единичной окружности косинус — это абсцисса точки. Косинус равен нулю там, где точки лежат на оси ординат: вверху \((0;1)\) и внизу \((0;-1)\). Этим точкам соответствуют углы \(\frac{\pi}{2}\) и \(\frac{3\pi}{2}\).

2. Это две серии: \[ x_1=\frac{\pi}{2}+2\pi k,\qquad x_2=\frac{3\pi}{2}+2\pi k. \] Но \(\frac{3\pi}{2}=\frac{\pi}{2}+\pi\), поэтому обе серии склеиваются в одну с шагом \(\pi\): \[ x=\frac{\pi}{2}+\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}. \]

Почему здесь не нужен \(\pm\) и \((-1)^n\). Общая формула \(\cos x=a\) даёт \(x=\pm\arccos a+2\pi k\). При \(a=0\) получаем \(\arccos 0=\frac{\pi}{2}\), то есть \(x=\pm\frac{\pi}{2}+2\pi k\). Но \(-\frac{\pi}{2}+2\pi k\) — это те же точки окружности, что и \(\frac{\pi}{2}+\pi k\), поэтому запись упрощается.

Проверка: \(\cos\frac{\pi}{2}=0\) ✓; при \(k=1\): \(\cos\frac{3\pi}{2}=0\) ✓.

Для тренировки: \(\sin x=-1\) — здесь тоже ответ записывается одной серией, попробуйте найти её через окружность.

Читаю запись как \[ 3\sin^2x+\sin x\cos x=2\cos^2x. \]

Ответ: \[ x=\arctan\frac23+\pi n,\qquad x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z. \]

Решение

Перенесём всё в левую часть: \[ 3\sin^2x+\sin x\cos x-2\cos^2x=0. \]

Левая часть раскладывается на множители: \[ (3\sin x-2\cos x)(\sin x+\cos x)=0. \]

Раскрытие для проверки: \[ 3\sin^2x+3\sin x\cos x-2\sin x\cos x-2\cos^2x =3\sin^2x+\sin x\cos x-2\cos^2x. \]

Значит, возможны два случая.

1. \(3\sin x-2\cos x=0\): \[ 3\sin x=2\cos x. \] Делим на \(\cos x\) (при \(\cos x=0\) равенство невозможно): \[ \operatorname{tg}x=\frac23, \] откуда \[ x=\arctan\frac23+\pi n. \]

2. \(\sin x+\cos x=0\): \[ \sin x=-\cos x, \] \[ \operatorname{tg}x=-1, \] откуда \[ x=-\frac{\pi}{4}+\pi n. \]

Проверка второго ответа. При \(x=-\frac{\pi}{4}\): \[ \sin x=-\frac{\sqrt2}{2},\qquad \cos x=\frac{\sqrt2}{2}. \] Тогда \[ 3\cdot\frac12+\left(-\frac12\right)=1, \] а правая часть \[ 2\cdot\frac12=1. \] Сходится.