Lim x→0 (1+2 sin x)^(3/sin x)

Краткий ответ: \(e^6\).

Ключевые шаги

При \(x\to0\) имеем \(1+2\sin x\to1\), а показатель \(\frac{3}{\sin x}\) уходит по модулю в бесконечность. Это неопределённость вида \(1^\infty\), поэтому применяем второй замечательный предел: \[ \lim_{t\to0}(1+t)^{1/t}=e. \]

Обозначим \[ t=2\sin x. \] Тогда \(t\to0\), а \[ \frac{3}{\sin x}=\frac{6}{2\sin x}=\frac6t. \] Значит, \[ \lim_{x\to0}(1+2\sin x)^{\frac{3}{\sin x}} = \lim_{t\to0}(1+t)^{\frac6t} = \left(\lim_{t\to0}(1+t)^{\frac1t}\right)^6 =e^6. \]

Проверка: \(e^6\approx403{,}43\).