Одно основание трапеции меньше другого на 10. На сколько средняя линия меньше большего основания?

№5 — 4

Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, равен полуразности её оснований:

\[ l=\frac{15-7}{2}=\frac{8}{2}=4. \]

№7 — 23

В равнобедренной трапеции с перпендикулярными диагоналями высота равна средней линии:

\[ m=h=23. \]

Ответ: №5 — 4; №7 — 23.

Потому что середины диагоналей лежат на средней линии трапеции, и расстояние между ними равно половине разности оснований.

Доказательство координатами.

Пусть в трапеции \(ABCD\) основания \(AD=b\) и \(BC=a\), причём \(b>a\) и \(AD\parallel BC\). Расположим трапецию так:

\[ A(0;0),\quad D(b;0),\quad B(x;h),\quad C(x+a;h). \]

Пусть \(M\) — середина диагонали \(AC\), \(N\) — середина диагонали \(BD\). Тогда

\[ M\left(\frac{x+a}{2};\frac h2\right), \qquad N\left(\frac{x+b}{2};\frac h2\right). \]

У точек \(M\) и \(N\) одинаковая высота, значит, отрезок \(MN\) параллелен основаниям. Его длина:

\[ MN=\frac{x+b}{2}-\frac{x+a}{2} =\frac{b-a}{2}. \]

То есть

\[ \boxed{MN=\frac{AD-BC}{2}}. \]

Сдвиг \(x\) сокращается, поэтому наклон боковой стороны не влияет на результат.

Как понять без формул: средняя линия трапеции равна \(\frac{a+b}{2}\). Точки — середины диагоналей — отсекают от её концов по \(\frac a2\), значит, между ними остаётся

\[ \frac{a+b}{2}-a=\frac{b-a}{2}. \]

Поэтому и получается именно полуразность оснований, а не полусумма.